Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13444 / 12562
↖ ↑ ↗
← S 68.800041°
E115.400390°		 ← 883.55 m → S 68.800041°
E115.422363°		 →
↑
883.40 m
↓
↑
883.40 m
↓
S 68.807986°
E115.400390°		 ← 883.23 m →
780 389 m²		 S 68.807986°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820587158203125 y=0.766754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820587158203125 × 214)
    floor (0.820587158203125 × 16384)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766754150390625 × 214)
    floor (0.766754150390625 × 16384)
    floor (12562.5)     		ty = 12562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13444 / 12562 ti = "14/13444/12562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13444/12562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 214
    13444 ÷ 16384     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12562 ÷ 214
    12562 ÷ 16384     		y = 0.7667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67587401071716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67587401071716))-π/2
    2×atan(0.187144541646705)-π/2
    2×0.185004541716077-π/2
    0.370009083432153-1.57079632675     		φ = -1.20078724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20078724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.800041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 12562 2.01411677 -1.20078724 115.400390 -68.800041
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 12562 2.01450027 -1.20078724 115.422363 -68.800041
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 12563 2.01411677 -1.20092590 115.400390 -68.807986
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 12563 2.01450027 -1.20092590 115.422363 -68.807986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20078724--1.20092590) × R
    0.000138660000000179 × 6371000     		dl = 883.402860001142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20078724--1.20092590) × R
    0.000138660000000179 × 6371000     		dr = 883.402860001142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(-1.20078724) × R
    0.000383500000000314 × 0.361623903817399 × 6371000     		do = 883.547909283842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01450027) × cos(-1.20092590) × R
    0.000383500000000314 × 0.361494624287305 × 6371000     		du = 883.232043387472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20078724)-sin(-1.20092590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361623903817399-0.361494624287305)×R²
    abs(2.01450027-2.01411677)×0.000129279530094228×R²
    0.000383500000000314×0.000129279530094228×6371000²
    0.000383500000000314×0.000129279530094228×40589641000000     		ar = 780389.232841105m²