Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13443 / 3115
↖ ↑ ↗
← N 81.019773°
W 32.310791°		 ← 190.69 m → N 81.019773°
W 32.299805°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 81.018058°
W 32.310791°		 ← 190.73 m →
36 377 m²		 N 81.018058°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410263061523438 y=0.0950775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410263061523438 × 215)
    floor (0.410263061523438 × 32768)
    floor (13443.5)     		tx = 13443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950775146484375 × 215)
    floor (0.0950775146484375 × 32768)
    floor (3115.5)     		ty = 3115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13443 / 3115 ti = "15/13443/3115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13443/3115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13443 ÷ 215
    13443 ÷ 32768     		x = 0.410247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3115 ÷ 215
    3115 ÷ 32768     		y = 0.095062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.17950439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56392969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095062255859375 × 2 - 1) × π
    0.80987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5442988842341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56392969} λ = -0.56392969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5442988842341))-π/2
    2×atan(12.7342967392658)-π/2
    2×1.49242906089904-π/2
    2.98485812179809-1.57079632675     		φ = 1.41406180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56392969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.310791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41406180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.019773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13443 KachelY 3115 -0.56392969 1.41406180 -32.310791 81.019773
    Oben rechts KachelX + 1 13444 KachelY 3115 -0.56373794 1.41406180 -32.299805 81.019773
    Unten links KachelX 13443 KachelY + 1 3116 -0.56392969 1.41403186 -32.310791 81.018058
    Unten rechts KachelX + 1 13444 KachelY + 1 3116 -0.56373794 1.41403186 -32.299805 81.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41406180-1.41403186) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41406180-1.41403186) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56392969--0.56373794) × cos(1.41406180) × R
    0.000191750000000046 × 0.156093598672992 × 6371000     		do = 190.690066812721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56392969--0.56373794) × cos(1.41403186) × R
    0.000191750000000046 × 0.156123171606537 × 6371000     		du = 190.726194269077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41406180)-sin(1.41403186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156093598672992-0.156123171606537)×R²
    abs(-0.56373794--0.56392969)×2.95729335451633e-05×R²
    0.000191750000000046×2.95729335451633e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.95729335451633e-05×40589641000000     		ar = 36377.1449030028m²