Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13442 / 6277
↖ ↑ ↗
← N 38.736946°
E115.356445°		 ← 1 905.82 m → N 38.736946°
E115.378418°		 →
↑
1 906.01 m
↓
↑
1 906.01 m
↓
N 38.719805°
E115.356445°		 ← 1 906.28 m →
3 632 958 m²		 N 38.719805°
E115.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820465087890625 y=0.383148193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820465087890625 × 214)
    floor (0.820465087890625 × 16384)
    floor (13442.5)     		tx = 13442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383148193359375 × 214)
    floor (0.383148193359375 × 16384)
    floor (6277.5)     		ty = 6277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13442 / 6277 ti = "14/13442/6277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13442/6277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13442 ÷ 214
    13442 ÷ 16384     		x = 0.8204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6277 ÷ 214
    6277 ÷ 16384     		y = 0.38311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8204345703125 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01334978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01334978} λ = 2.01334978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73439330217926))-π/2
    2×atan(2.08421711886182)-π/2
    2×1.12344178889602-π/2
    2.24688357779203-1.57079632675     		φ = 0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01334978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13442 KachelY 6277 2.01334978 0.67608725 115.356445 38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 13443 KachelY 6277 2.01373328 0.67608725 115.378418 38.736946
    Unten links KachelX 13442 KachelY + 1 6278 2.01334978 0.67578808 115.356445 38.719805
    Unten rechts KachelX + 1 13443 KachelY + 1 6278 2.01373328 0.67578808 115.378418 38.719805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67608725-0.67578808) × R
    0.000299170000000015 × 6371000     		dl = 1906.0120700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67608725-0.67578808) × R
    0.000299170000000015 × 6371000     		dr = 1906.0120700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01334978-2.01373328) × cos(0.67608725) × R
    0.00038349999999987 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 1905.82337007852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01334978-2.01373328) × cos(0.67578808) × R
    0.00038349999999987 × 0.780214239669202 × 6371000     		du = 1906.28067717696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67608725)-sin(0.67578808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.780214239669202)×R²
    abs(2.01373328-2.01334978)×0.000187169452210867×R²
    0.00038349999999987×0.000187169452210867×6371000²
    0.00038349999999987×0.000187169452210867×40589641000000     		ar = 3632958.19017942m²