Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13441 / 12564
↖ ↑ ↗
← S 68.815927°
E115.334473°		 ← 882.89 m → S 68.815927°
E115.356445°		 →
↑
882.70 m
↓
↑
882.70 m
↓
S 68.823866°
E115.334473°		 ← 882.58 m →
779 192 m²		 S 68.823866°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820404052734375 y=0.766876220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820404052734375 × 214)
    floor (0.820404052734375 × 16384)
    floor (13441.5)     		tx = 13441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766876220703125 × 214)
    floor (0.766876220703125 × 16384)
    floor (12564.5)     		ty = 12564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13441 / 12564 ti = "14/13441/12564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13441/12564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13441 ÷ 214
    13441 ÷ 16384     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12564 ÷ 214
    12564 ÷ 16384     		y = 0.766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.53369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67664100111108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67664100111108))-π/2
    2×atan(0.187001058613076)-π/2
    2×0.184865910261283-π/2
    0.369731820522567-1.57079632675     		φ = -1.20106451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20106451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.815927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13441 KachelY 12564 2.01296629 -1.20106451 115.334473 -68.815927
    Oben rechts KachelX + 1 13442 KachelY 12564 2.01334978 -1.20106451 115.356445 -68.815927
    Unten links KachelX 13441 KachelY + 1 12565 2.01296629 -1.20120306 115.334473 -68.823866
    Unten rechts KachelX + 1 13442 KachelY + 1 12565 2.01334978 -1.20120306 115.356445 -68.823866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20106451--1.20120306) × R
    0.000138550000000182 × 6371000     		dl = 882.702050001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20106451--1.20120306) × R
    0.000138550000000182 × 6371000     		dr = 882.702050001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01334978) × cos(-1.20106451) × R
    0.000383489999999931 × 0.361365384428115 × 6371000     		do = 882.893251828646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01334978) × cos(-1.20120306) × R
    0.000383489999999931 × 0.36123619357457 × 6371000     		du = 882.577610824533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20106451)-sin(-1.20120306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361365384428115-0.36123619357457)×R²
    abs(2.01334978-2.01296629)×0.000129190853544792×R²
    0.000383489999999931×0.000129190853544792×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129190853544792×40589641000000     		ar = 779192.376087407m²