Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1344 / 702
↖ ↑ ↗
← N 81.531226°
W120.937500°		 ← 719.64 m → N 81.531226°
W120.893554°		 →
↑
719.92 m
↓
↑
719.92 m
↓
N 81.524751°
W120.937500°		 ← 720.18 m →
518 279 m²		 N 81.524751°
W120.893554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16412353515625 y=0.08575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16412353515625 × 213)
    floor (0.16412353515625 × 8192)
    floor (1344.5)     		tx = 1344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08575439453125 × 213)
    floor (0.08575439453125 × 8192)
    floor (702.5)     		ty = 702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1344 / 702 ti = "13/1344/702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1344/702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1344 ÷ 213
    1344 ÷ 8192     		x = 0.1640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 702 ÷ 213
    702 ÷ 8192     		y = 0.085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1640625 × 2 - 1) × π
    -0.671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085693359375 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11075756} λ = -2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60316539696753))-π/2
    2×atan(13.5064236333395)-π/2
    2×1.49689232648992-π/2
    2.99378465297984-1.57079632675     		φ = 1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1344 KachelY 702 -2.11075756 1.42298833 -120.937500 81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 1345 KachelY 702 -2.10999057 1.42298833 -120.893554 81.531226
    Unten links KachelX 1344 KachelY + 1 703 -2.11075756 1.42287533 -120.937500 81.524751
    Unten rechts KachelX + 1 1345 KachelY + 1 703 -2.10999057 1.42287533 -120.893554 81.524751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42298833-1.42287533) × R
    0.000112999999999808 × 6371000     		dl = 719.922999998775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42298833-1.42287533) × R
    0.000112999999999808 × 6371000     		dr = 719.922999998775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11075756--2.10999057) × cos(1.42298833) × R
    0.000766990000000245 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 719.635752132532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11075756--2.10999057) × cos(1.42287533) × R
    0.000766990000000245 × 0.147382152759612 × 6371000     		du = 720.181900525827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42298833)-sin(1.42287533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147382152759612)×R²
    abs(-2.10999057--2.11075756)×0.000111766938145963×R²
    0.000766990000000245×0.000111766938145963×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111766938145963×40589641000000     		ar = 518278.922526252m²