Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13439 / 5285
↖ ↑ ↗
← N 53.683695°
E115.290527°		 ← 1 446.98 m → N 53.683695°
E115.312500°		 →
↑
1 447.24 m
↓
↑
1 447.24 m
↓
N 53.670680°
E115.290527°		 ← 1 447.42 m →
2 094 439 m²		 N 53.670680°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820281982421875 y=0.322601318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820281982421875 × 214)
    floor (0.820281982421875 × 16384)
    floor (13439.5)     		tx = 13439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322601318359375 × 214)
    floor (0.322601318359375 × 16384)
    floor (5285.5)     		ty = 5285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13439 / 5285 ti = "14/13439/5285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13439/5285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13439 ÷ 214
    13439 ÷ 16384     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5285 ÷ 214
    5285 ÷ 16384     		y = 0.32257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32257080078125 × 2 - 1) × π
    0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11482053756403))-π/2
    2×atan(3.049020945354)-π/2
    2×1.25387678259148-π/2
    2.50775356518297-1.57079632675     		φ = 0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13439 KachelY 5285 2.01219930 0.93695724 115.290527 53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 13440 KachelY 5285 2.01258279 0.93695724 115.312500 53.683695
    Unten links KachelX 13439 KachelY + 1 5286 2.01219930 0.93673008 115.290527 53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 13440 KachelY + 1 5286 2.01258279 0.93673008 115.312500 53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93695724-0.93673008) × R
    0.000227160000000004 × 6371000     		dl = 1447.23636000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93695724-0.93673008) × R
    0.000227160000000004 × 6371000     		dr = 1447.23636000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01258279) × cos(0.93695724) × R
    0.000383490000000375 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 1446.9756266773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01258279) × cos(0.93673008) × R
    0.000383490000000375 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 1447.42278656019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93695724)-sin(0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592425517593882)×R²
    abs(2.01258279-2.01219930)×0.000183021110024328×R²
    0.000383490000000375×0.000183021110024328×6371000²
    0.000383490000000375×0.000183021110024328×40589641000000     		ar = 2094439.32098818m²