Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13438 / 5287
↖ ↑ ↗
← N 53.657661°
E115.268555°		 ← 1 447.91 m → N 53.657661°
E115.290527°		 →
↑
1 448.06 m
↓
↑
1 448.06 m
↓
N 53.644638°
E115.268555°		 ← 1 448.36 m →
2 096 988 m²		 N 53.644638°
E115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820220947265625 y=0.322723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820220947265625 × 214)
    floor (0.820220947265625 × 16384)
    floor (13438.5)     		tx = 13438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322723388671875 × 214)
    floor (0.322723388671875 × 16384)
    floor (5287.5)     		ty = 5287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13438 / 5287 ti = "14/13438/5287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13438/5287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13438 ÷ 214
    13438 ÷ 16384     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5287 ÷ 214
    5287 ÷ 16384     		y = 0.32269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32269287109375 × 2 - 1) × π
    0.3546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1140535471701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1140535471701))-π/2
    2×atan(3.04668327217909)-π/2
    2×1.25364959024962-π/2
    2.50729918049925-1.57079632675     		φ = 0.93650285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93650285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.657661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13438 KachelY 5287 2.01181580 0.93650285 115.268555 53.657661
    Oben rechts KachelX + 1 13439 KachelY 5287 2.01219930 0.93650285 115.290527 53.657661
    Unten links KachelX 13438 KachelY + 1 5288 2.01181580 0.93627556 115.268555 53.644638
    Unten rechts KachelX + 1 13439 KachelY + 1 5288 2.01219930 0.93627556 115.290527 53.644638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93650285-0.93627556) × R
    0.000227289999999991 × 6371000     		dl = 1448.06458999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93650285-0.93627556) × R
    0.000227289999999991 × 6371000     		dr = 1448.06458999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01219930) × cos(0.93650285) × R
    0.00038349999999987 × 0.592608564518106 × 6371000     		do = 1447.90776460246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01219930) × cos(0.93627556) × R
    0.00038349999999987 × 0.592791629165245 × 6371000     		du = 1448.35504251893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93650285)-sin(0.93627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592608564518106-0.592791629165245)×R²
    abs(2.01219930-2.01181580)×0.00018306464713902×R²
    0.00038349999999987×0.00018306464713902×6371000²
    0.00038349999999987×0.00018306464713902×40589641000000     		ar = 2096987.81618963m²