Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13437 / 6789
↖ ↑ ↗
← N 29.439598°
E115.246582°		 ← 2 127.73 m → N 29.439598°
E115.268555°		 →
↑
2 127.98 m
↓
↑
2 127.98 m
↓
N 29.420460°
E115.246582°		 ← 2 128.13 m →
4 528 195 m²		 N 29.420460°
E115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820159912109375 y=0.414398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820159912109375 × 214)
    floor (0.820159912109375 × 16384)
    floor (13437.5)     		tx = 13437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414398193359375 × 214)
    floor (0.414398193359375 × 16384)
    floor (6789.5)     		ty = 6789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13437 / 6789 ti = "14/13437/6789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13437/6789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13437 ÷ 214
    13437 ÷ 16384     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6789 ÷ 214
    6789 ÷ 16384     		y = 0.41436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41436767578125 × 2 - 1) × π
    0.1712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.53804376133551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.53804376133551))-π/2
    2×atan(1.71265322453983)-π/2
    2×1.04230711739042-π/2
    2.08461423478084-1.57079632675     		φ = 0.51381791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51381791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.439598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13437 KachelY 6789 2.01143231 0.51381791 115.246582 29.439598
    Oben rechts KachelX + 1 13438 KachelY 6789 2.01181580 0.51381791 115.268555 29.439598
    Unten links KachelX 13437 KachelY + 1 6790 2.01143231 0.51348390 115.246582 29.420460
    Unten rechts KachelX + 1 13438 KachelY + 1 6790 2.01181580 0.51348390 115.268555 29.420460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51381791-0.51348390) × R
    0.000334009999999996 × 6371000     		dl = 2127.97770999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51381791-0.51348390) × R
    0.000334009999999996 × 6371000     		dr = 2127.97770999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01181580) × cos(0.51381791) × R
    0.000383489999999931 × 0.87087433463623 × 6371000     		do = 2127.73305461426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01181580) × cos(0.51348390) × R
    0.000383489999999931 × 0.871038453887137 × 6371000     		du = 2128.1340331954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51381791)-sin(0.51348390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87087433463623-0.871038453887137)×R²
    abs(2.01181580-2.01143231)×0.000164119250906203×R²
    0.000383489999999931×0.000164119250906203×6371000²
    0.000383489999999931×0.000164119250906203×40589641000000     		ar = 4528195.19188839m²