Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13436 / 5245
↖ ↑ ↗
← N 54.201010°
E115.224609°		 ← 1 429.18 m → N 54.201010°
E115.246582°		 →
↑
1 429.40 m
↓
↑
1 429.40 m
↓
N 54.188156°
E115.224609°		 ← 1 429.62 m →
2 043 184 m²		 N 54.188156°
E115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820098876953125 y=0.320159912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820098876953125 × 214)
    floor (0.820098876953125 × 16384)
    floor (13436.5)     		tx = 13436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320159912109375 × 214)
    floor (0.320159912109375 × 16384)
    floor (5245.5)     		ty = 5245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13436 / 5245 ti = "14/13436/5245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13436/5245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13436 ÷ 214
    13436 ÷ 16384     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5245 ÷ 214
    5245 ÷ 16384     		y = 0.32012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32012939453125 × 2 - 1) × π
    0.3597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13016034544244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13016034544244))-π/2
    2×atan(3.09615291433369)-π/2
    2×1.2583912066833-π/2
    2.51678241336661-1.57079632675     		φ = 0.94598609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94598609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.201010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13436 KachelY 5245 2.01104881 0.94598609 115.224609 54.201010
    Oben rechts KachelX + 1 13437 KachelY 5245 2.01143231 0.94598609 115.246582 54.201010
    Unten links KachelX 13436 KachelY + 1 5246 2.01104881 0.94576173 115.224609 54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 13437 KachelY + 1 5246 2.01143231 0.94576173 115.246582 54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94598609-0.94576173) × R
    0.000224360000000035 × 6371000     		dl = 1429.39756000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94598609-0.94576173) × R
    0.000224360000000035 × 6371000     		dr = 1429.39756000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01143231) × cos(0.94598609) × R
    0.00038349999999987 × 0.58494337144591 × 6371000     		do = 1429.17956317082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01143231) × cos(0.94576173) × R
    0.00038349999999987 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 1429.62413692029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94598609)-sin(0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58494337144591-0.585125329315008)×R²
    abs(2.01143231-2.01104881)×0.000181957869098359×R²
    0.00038349999999987×0.000181957869098359×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181957869098359×40589641000000     		ar = 2043183.52528619m²