Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13435 / 5241
↖ ↑ ↗
← N 54.252389°
E115.202637°		 ← 1 427.36 m → N 54.252389°
E115.224609°		 →
↑
1 427.61 m
↓
↑
1 427.61 m
↓
N 54.239550°
E115.202637°		 ← 1 427.81 m →
2 038 043 m²		 N 54.239550°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820037841796875 y=0.319915771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820037841796875 × 214)
    floor (0.820037841796875 × 16384)
    floor (13435.5)     		tx = 13435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319915771484375 × 214)
    floor (0.319915771484375 × 16384)
    floor (5241.5)     		ty = 5241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13435 / 5241 ti = "14/13435/5241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13435/5241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13435 ÷ 214
    13435 ÷ 16384     		x = 0.82000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5241 ÷ 214
    5241 ÷ 16384     		y = 0.31988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82000732421875 × 2 - 1) × π
    0.6400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01066532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31988525390625 × 2 - 1) × π
    0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01066532} λ = 2.01066532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13169432623029))-π/2
    2×atan(3.10090599805802)-π/2
    2×1.25883957359153-π/2
    2.51767914718306-1.57079632675     		φ = 0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01066532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13435 KachelY 5241 2.01066532 0.94688282 115.202637 54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 13436 KachelY 5241 2.01104881 0.94688282 115.224609 54.252389
    Unten links KachelX 13435 KachelY + 1 5242 2.01066532 0.94665874 115.202637 54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 13436 KachelY + 1 5242 2.01104881 0.94665874 115.224609 54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94688282-0.94665874) × R
    0.00022407999999996 × 6371000     		dl = 1427.61367999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94688282-0.94665874) × R
    0.00022407999999996 × 6371000     		dr = 1427.61367999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01066532-2.01104881) × cos(0.94688282) × R
    0.000383489999999931 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 1427.36473649753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01066532-2.01104881) × cos(0.94665874) × R
    0.000383489999999931 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 1427.80903092513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94688282)-sin(0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584397670139097)×R²
    abs(2.01104881-2.01066532)×0.000181848288333231×R²
    0.000383489999999931×0.000181848288333231×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181848288333231×40589641000000     		ar = 2038042.57310208m²