Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13435 / 3204
↖ ↑ ↗
← N 80.865854°
W 32.398682°		 ← 193.93 m → N 80.865854°
W 32.387695°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 80.864110°
W 32.398682°		 ← 193.97 m →
37 613 m²		 N 80.864110°
W 32.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410018920898438 y=0.0977935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410018920898438 × 215)
    floor (0.410018920898438 × 32768)
    floor (13435.5)     		tx = 13435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977935791015625 × 215)
    floor (0.0977935791015625 × 32768)
    floor (3204.5)     		ty = 3204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13435 / 3204 ti = "15/13435/3204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13435/3204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13435 ÷ 215
    13435 ÷ 32768     		x = 0.410003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3204 ÷ 215
    3204 ÷ 32768     		y = 0.0977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.17999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56546367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977783203125 × 2 - 1) × π
    0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56546367} λ = -0.56546367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52723334796936))-π/2
    2×atan(12.518822953696)-π/2
    2×1.49108586306452-π/2
    2.98217172612904-1.57079632675     		φ = 1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56546367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.398682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13435 KachelY 3204 -0.56546367 1.41137540 -32.398682 80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 13436 KachelY 3204 -0.56527192 1.41137540 -32.387695 80.865854
    Unten links KachelX 13435 KachelY + 1 3205 -0.56546367 1.41134496 -32.398682 80.864110
    Unten rechts KachelX + 1 13436 KachelY + 1 3205 -0.56527192 1.41134496 -32.387695 80.864110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41137540-1.41134496) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41137540-1.41134496) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56546367--0.56527192) × cos(1.41137540) × R
    0.000191749999999935 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 193.930958947188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56546367--0.56527192) × cos(1.41134496) × R
    0.000191749999999935 × 0.158776556995512 × 6371000     		du = 193.967674005514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41137540)-sin(1.41134496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158776556995512)×R²
    abs(-0.56527192--0.56546367)×3.00539282160617e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00539282160617e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00539282160617e-05×40589641000000     		ar = 37613.2193428063m²