Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13434 / 5283
↖ ↑ ↗
← N 53.709713°
E115.180664°		 ← 1 446.12 m → N 53.709713°
E115.202637°		 →
↑
1 446.28 m
↓
↑
1 446.28 m
↓
N 53.696707°
E115.180664°		 ← 1 446.57 m →
2 091 818 m²		 N 53.696707°
E115.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819976806640625 y=0.322479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819976806640625 × 214)
    floor (0.819976806640625 × 16384)
    floor (13434.5)     		tx = 13434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322479248046875 × 214)
    floor (0.322479248046875 × 16384)
    floor (5283.5)     		ty = 5283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13434 / 5283 ti = "14/13434/5283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13434/5283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13434 ÷ 214
    13434 ÷ 16384     		x = 0.8199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5283 ÷ 214
    5283 ÷ 16384     		y = 0.32244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8199462890625 × 2 - 1) × π
    0.639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01028182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32244873046875 × 2 - 1) × π
    0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01028182} λ = 2.01028182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11558752795795))-π/2
    2×atan(3.05136041218956)-π/2
    2×1.25410383456959-π/2
    2.50820766913918-1.57079632675     		φ = 0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01028182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13434 KachelY 5283 2.01028182 0.93741134 115.180664 53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 13435 KachelY 5283 2.01066532 0.93741134 115.202637 53.709713
    Unten links KachelX 13434 KachelY + 1 5284 2.01028182 0.93718433 115.180664 53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 13435 KachelY + 1 5284 2.01066532 0.93718433 115.202637 53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93741134-0.93718433) × R
    0.000227010000000027 × 6371000     		dl = 1446.28071000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93741134-0.93718433) × R
    0.000227010000000027 × 6371000     		dr = 1446.28071000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01028182-2.01066532) × cos(0.93741134) × R
    0.000383500000000314 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 1446.11922463594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01028182-2.01066532) × cos(0.93718433) × R
    0.000383500000000314 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 1446.56625006674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93741134)-sin(0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.592059501225734)×R²
    abs(2.01066532-2.01028182)×0.000182961308261786×R²
    0.000383500000000314×0.000182961308261786×6371000²
    0.000383500000000314×0.000182961308261786×40589641000000     		ar = 2091817.61006249m²