Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13433 / 12570
↖ ↑ ↗
← S 68.863517°
E115.158692°		 ← 881 m → S 68.863517°
E115.180664°		 →
↑
880.85 m
↓
↑
880.85 m
↓
S 68.871439°
E115.158692°		 ← 880.69 m →
775 895 m²		 S 68.871439°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819915771484375 y=0.767242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819915771484375 × 214)
    floor (0.819915771484375 × 16384)
    floor (13433.5)     		tx = 13433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767242431640625 × 214)
    floor (0.767242431640625 × 16384)
    floor (12570.5)     		ty = 12570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13433 / 12570 ti = "14/13433/12570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13433/12570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13433 ÷ 214
    13433 ÷ 16384     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12570 ÷ 214
    12570 ÷ 16384     		y = 0.7672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67894197229285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67894197229285))-π/2
    2×atan(0.186571269222374)-π/2
    2×0.18445061030576-π/2
    0.368901220611521-1.57079632675     		φ = -1.20189511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20189511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.863517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13433 KachelY 12570 2.00989833 -1.20189511 115.158692 -68.863517
    Oben rechts KachelX + 1 13434 KachelY 12570 2.01028182 -1.20189511 115.180664 -68.863517
    Unten links KachelX 13433 KachelY + 1 12571 2.00989833 -1.20203337 115.158692 -68.871439
    Unten rechts KachelX + 1 13434 KachelY + 1 12571 2.01028182 -1.20203337 115.180664 -68.871439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20189511--1.20203337) × R
    0.000138260000000168 × 6371000     		dl = 880.854460001068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20189511--1.20203337) × R
    0.000138260000000168 × 6371000     		dr = 880.854460001068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.01028182) × cos(-1.20189511) × R
    0.000383489999999931 × 0.360590788248518 × 6371000     		do = 881.000746986379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.01028182) × cos(-1.20203337) × R
    0.000383489999999931 × 0.360461826365646 × 6371000     		du = 880.6856654068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20189511)-sin(-1.20203337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360590788248518-0.360461826365646)×R²
    abs(2.01028182-2.00989833)×0.000128961882871703×R²
    0.000383489999999931×0.000128961882871703×6371000²
    0.000383489999999931×0.000128961882871703×40589641000000     		ar = 775894.667975921m²