Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13433 / 12566
↖ ↑ ↗
← S 68.831802°
E115.158692°		 ← 882.26 m → S 68.831802°
E115.180664°		 →
↑
882.13 m
↓
↑
882.13 m
↓
S 68.839735°
E115.158692°		 ← 881.95 m →
778 129 m²		 S 68.839735°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819915771484375 y=0.766998291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819915771484375 × 214)
    floor (0.819915771484375 × 16384)
    floor (13433.5)     		tx = 13433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766998291015625 × 214)
    floor (0.766998291015625 × 16384)
    floor (12566.5)     		ty = 12566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13433 / 12566 ti = "14/13433/12566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13433/12566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13433 ÷ 214
    13433 ÷ 16384     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12566 ÷ 214
    12566 ÷ 16384     		y = 0.7669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.677407991505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.677407991505))-π/2
    2×atan(0.186857685587362)-π/2
    2×0.184727377914781-π/2
    0.369454755829563-1.57079632675     		φ = -1.20134157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20134157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.831802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13433 KachelY 12566 2.00989833 -1.20134157 115.158692 -68.831802
    Oben rechts KachelX + 1 13434 KachelY 12566 2.01028182 -1.20134157 115.180664 -68.831802
    Unten links KachelX 13433 KachelY + 1 12567 2.00989833 -1.20148003 115.158692 -68.839735
    Unten rechts KachelX + 1 13434 KachelY + 1 12567 2.01028182 -1.20148003 115.180664 -68.839735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20134157--1.20148003) × R
    0.00013845999999984 × 6371000     		dl = 882.128659998983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20134157--1.20148003) × R
    0.00013845999999984 × 6371000     		dr = 882.128659998983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.01028182) × cos(-1.20134157) × R
    0.000383489999999931 × 0.361107033087674 × 6371000     		do = 882.262044012665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.01028182) × cos(-1.20148003) × R
    0.000383489999999931 × 0.36097791230165 × 6371000     		du = 881.946574198556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20134157)-sin(-1.20148003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361107033087674-0.36097791230165)×R²
    abs(2.01028182-2.00989833)×0.000129120786023174×R²
    0.000383489999999931×0.000129120786023174×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129120786023174×40589641000000     		ar = 778129.49341269m²