Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13431 / 6278
↖ ↑ ↗
← N 38.719805°
E115.114746°		 ← 1 906.23 m → N 38.719805°
E115.136719°		 →
↑
1 906.52 m
↓
↑
1 906.52 m
↓
N 38.702659°
E115.114746°		 ← 1 906.69 m →
3 634 707 m²		 N 38.702659°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819793701171875 y=0.383209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819793701171875 × 214)
    floor (0.819793701171875 × 16384)
    floor (13431.5)     		tx = 13431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383209228515625 × 214)
    floor (0.383209228515625 × 16384)
    floor (6278.5)     		ty = 6278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13431 / 6278 ti = "14/13431/6278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13431/6278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13431 ÷ 214
    13431 ÷ 16384     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6278 ÷ 214
    6278 ÷ 16384     		y = 0.3831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3831787109375 × 2 - 1) × π
    0.233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.7340098069823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.7340098069823))-π/2
    2×atan(2.08341798484914)-π/2
    2×1.12329220263348-π/2
    2.24658440526695-1.57079632675     		φ = 0.67578808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67578808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.719805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13431 KachelY 6278 2.00913134 0.67578808 115.114746 38.719805
    Oben rechts KachelX + 1 13432 KachelY 6278 2.00951483 0.67578808 115.136719 38.719805
    Unten links KachelX 13431 KachelY + 1 6279 2.00913134 0.67548883 115.114746 38.702659
    Unten rechts KachelX + 1 13432 KachelY + 1 6279 2.00951483 0.67548883 115.136719 38.702659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67578808-0.67548883) × R
    0.000299249999999973 × 6371000     		dl = 1906.52174999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67578808-0.67548883) × R
    0.000299249999999973 × 6371000     		dr = 1906.52174999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00951483) × cos(0.67578808) × R
    0.000383489999999931 × 0.780214239669202 × 6371000     		do = 1906.23096972806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00951483) × cos(0.67548883) × R
    0.000383489999999931 × 0.780401389312454 × 6371000     		du = 1906.68821650439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67578808)-sin(0.67548883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780214239669202-0.780401389312454)×R²
    abs(2.00951483-2.00913134)×0.000187149643251616×R²
    0.000383489999999931×0.000187149643251616×6371000²
    0.000383489999999931×0.000187149643251616×40589641000000     		ar = 3634706.70689673m²