Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13431 / 5238
↖ ↑ ↗
← N 54.290882°
E115.114746°		 ← 1 426.03 m → N 54.290882°
E115.136719°		 →
↑
1 426.28 m
↓
↑
1 426.28 m
↓
N 54.278055°
E115.114746°		 ← 1 426.48 m →
2 034 232 m²		 N 54.278055°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819793701171875 y=0.319732666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819793701171875 × 214)
    floor (0.819793701171875 × 16384)
    floor (13431.5)     		tx = 13431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319732666015625 × 214)
    floor (0.319732666015625 × 16384)
    floor (5238.5)     		ty = 5238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13431 / 5238 ti = "14/13431/5238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13431/5238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13431 ÷ 214
    13431 ÷ 16384     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5238 ÷ 214
    5238 ÷ 16384     		y = 0.3197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3197021484375 × 2 - 1) × π
    0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13284481182117))-π/2
    2×atan(3.1044755987208)-π/2
    2×1.2591754826596-π/2
    2.51835096531921-1.57079632675     		φ = 0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13431 KachelY 5238 2.00913134 0.94755464 115.114746 54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 13432 KachelY 5238 2.00951483 0.94755464 115.136719 54.290882
    Unten links KachelX 13431 KachelY + 1 5239 2.00913134 0.94733077 115.114746 54.278055
    Unten rechts KachelX + 1 13432 KachelY + 1 5239 2.00951483 0.94733077 115.136719 54.278055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94755464-0.94733077) × R
    0.000223870000000015 × 6371000     		dl = 1426.27577000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94755464-0.94733077) × R
    0.000223870000000015 × 6371000     		dr = 1426.27577000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00951483) × cos(0.94755464) × R
    0.000383489999999931 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 1426.0322565048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00951483) × cos(0.94733077) × R
    0.000383489999999931 × 0.58385220777017 × 6371000     		du = 1426.47634919797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94755464)-sin(0.94733077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.58385220777017)×R²
    abs(2.00951483-2.00913134)×0.000181765719080351×R²
    0.000383489999999931×0.000181765719080351×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181765719080351×40589641000000     		ar = 2034231.96251159m²