Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13427 / 2710
↖ ↑ ↗
← N 81.688321°
W 32.486572°		 ← 176.60 m → N 81.688321°
W 32.475586°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 81.686733°
W 32.486572°		 ← 176.63 m →
31 191 m²		 N 81.686733°
W 32.475586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409774780273438 y=0.0827178955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409774780273438 × 215)
    floor (0.409774780273438 × 32768)
    floor (13427.5)     		tx = 13427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827178955078125 × 215)
    floor (0.0827178955078125 × 32768)
    floor (2710.5)     		ty = 2710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13427 / 2710 ti = "15/13427/2710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13427/2710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13427 ÷ 215
    13427 ÷ 32768     		x = 0.409759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2710 ÷ 215
    2710 ÷ 32768     		y = 0.08270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.18048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56699765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08270263671875 × 2 - 1) × π
    0.8345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62195666161859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56699765} λ = -0.56699765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62195666161859))-π/2
    2×atan(13.7626260591566)-π/2
    2×1.49826324353029-π/2
    2.99652648706059-1.57079632675     		φ = 1.42573016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56699765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.486572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42573016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.688321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13427 KachelY 2710 -0.56699765 1.42573016 -32.486572 81.688321
    Oben rechts KachelX + 1 13428 KachelY 2710 -0.56680590 1.42573016 -32.475586 81.688321
    Unten links KachelX 13427 KachelY + 1 2711 -0.56699765 1.42570244 -32.486572 81.686733
    Unten rechts KachelX + 1 13428 KachelY + 1 2711 -0.56680590 1.42570244 -32.475586 81.686733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42573016-1.42570244) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dl = 176.60412000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42573016-1.42570244) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dr = 176.60412000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56699765--0.56680590) × cos(1.42573016) × R
    0.000191750000000046 × 0.144557901828504 × 6371000     		do = 176.59760677139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56699765--0.56680590) × cos(1.42570244) × R
    0.000191750000000046 × 0.144585330611593 × 6371000     		du = 176.631114849391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42573016)-sin(1.42570244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144557901828504-0.144585330611593)×R²
    abs(-0.56680590--0.56699765)×2.74287830883957e-05×R²
    0.000191750000000046×2.74287830883957e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.74287830883957e-05×40589641000000     		ar = 31190.823772541m²