Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13426 / 2705
↖ ↑ ↗
← N 81.696258°
W 32.497559°		 ← 176.43 m → N 81.696258°
W 32.486572°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 81.694671°
W 32.497559°		 ← 176.46 m →
31 139 m²		 N 81.694671°
W 32.486572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409744262695312 y=0.0825653076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409744262695312 × 215)
    floor (0.409744262695312 × 32768)
    floor (13426.5)     		tx = 13426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825653076171875 × 215)
    floor (0.0825653076171875 × 32768)
    floor (2705.5)     		ty = 2705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13426 / 2705 ti = "15/13426/2705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13426/2705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13426 ÷ 215
    13426 ÷ 32768     		x = 0.40972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2705 ÷ 215
    2705 ÷ 32768     		y = 0.082550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082550048828125 × 2 - 1) × π
    0.83489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62291539961099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56718940} λ = -0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62291539961099))-π/2
    2×atan(13.7758271388118)-π/2
    2×1.49833250724692-π/2
    2.99666501449383-1.57079632675     		φ = 1.42586869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42586869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.696258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13426 KachelY 2705 -0.56718940 1.42586869 -32.497559 81.696258
    Oben rechts KachelX + 1 13427 KachelY 2705 -0.56699765 1.42586869 -32.486572 81.696258
    Unten links KachelX 13426 KachelY + 1 2706 -0.56718940 1.42584099 -32.497559 81.694671
    Unten rechts KachelX + 1 13427 KachelY + 1 2706 -0.56699765 1.42584099 -32.486572 81.694671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42586869-1.42584099) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42586869-1.42584099) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56718940--0.56699765) × cos(1.42586869) × R
    0.000191749999999935 × 0.144420825513459 × 6371000     		do = 176.430148964583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56718940--0.56699765) × cos(1.42584099) × R
    0.000191749999999935 × 0.144448235061199 × 6371000     		du = 176.463633543927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42586869)-sin(1.42584099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144420825513459-0.144448235061199)×R²
    abs(-0.56699765--0.56718940)×2.74095477404424e-05×R²
    0.000191749999999935×2.74095477404424e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.74095477404424e-05×40589641000000     		ar = 31138.765095804m²