Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13425 / 21493
↖ ↑ ↗
← S 48.843028°
W 32.508545°		 ← 803.95 m → S 48.843028°
W 32.497559°		 →
↑
803.96 m
↓
↑
803.96 m
↓
S 48.850258°
W 32.508545°		 ← 803.83 m →
646 293 m²		 S 48.850258°
W 32.497559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409713745117188 y=0.655929565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409713745117188 × 215)
    floor (0.409713745117188 × 32768)
    floor (13425.5)     		tx = 13425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655929565429688 × 215)
    floor (0.655929565429688 × 32768)
    floor (21493.5)     		ty = 21493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13425 / 21493 ti = "15/13425/21493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13425/21493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13425 ÷ 215
    13425 ÷ 32768     		x = 0.409698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21493 ÷ 215
    21493 ÷ 32768     		y = 0.655914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.31182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979638480635468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56738114} λ = -0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979638480635468))-π/2
    2×atan(0.375446805610191)-π/2
    2×0.359162332704308-π/2
    0.718324665408615-1.57079632675     		φ = -0.85247166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85247166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.843028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13425 KachelY 21493 -0.56738114 -0.85247166 -32.508545 -48.843028
    Oben rechts KachelX + 1 13426 KachelY 21493 -0.56718940 -0.85247166 -32.497559 -48.843028
    Unten links KachelX 13425 KachelY + 1 21494 -0.56738114 -0.85259785 -32.508545 -48.850258
    Unten rechts KachelX + 1 13426 KachelY + 1 21494 -0.56718940 -0.85259785 -32.497559 -48.850258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85247166--0.85259785) × R
    0.000126190000000026 × 6371000     		dl = 803.956490000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85247166--0.85259785) × R
    0.000126190000000026 × 6371000     		dr = 803.956490000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56738114--0.56718940) × cos(-0.85247166) × R
    0.000191739999999996 × 0.658124222097955 × 6371000     		do = 803.948451996371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56738114--0.56718940) × cos(-0.85259785) × R
    0.000191739999999996 × 0.658029207225783 × 6371000     		du = 803.83238415259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85247166)-sin(-0.85259785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658124222097955-0.658029207225783)×R²
    abs(-0.56718940--0.56738114)×9.50148721716726e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50148721716726e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50148721716726e-05×40589641000000     		ar = 646292.919717103m²