Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13424 / 2702
↖ ↑ ↗
← N 81.701016°
W 32.519531°		 ← 176.33 m → N 81.701016°
W 32.508545°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
N 81.699431°
W 32.519531°		 ← 176.36 m →
31 099 m²		 N 81.699431°
W 32.508545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409683227539062 y=0.0824737548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409683227539062 × 215)
    floor (0.409683227539062 × 32768)
    floor (13424.5)     		tx = 13424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824737548828125 × 215)
    floor (0.0824737548828125 × 32768)
    floor (2702.5)     		ty = 2702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13424 / 2702 ti = "15/13424/2702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13424/2702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13424 ÷ 215
    13424 ÷ 32768     		x = 0.40966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2702 ÷ 215
    2702 ÷ 32768     		y = 0.08245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40966796875 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56757289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08245849609375 × 2 - 1) × π
    0.8350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62349064240643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56757289} λ = -0.56757289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62349064240643))-π/2
    2×atan(13.7837538638018)-π/2
    2×1.49837403394735-π/2
    2.99674806789469-1.57079632675     		φ = 1.42595174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56757289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.519531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42595174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.701016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13424 KachelY 2702 -0.56757289 1.42595174 -32.519531 81.701016
    Oben rechts KachelX + 1 13425 KachelY 2702 -0.56738114 1.42595174 -32.508545 81.701016
    Unten links KachelX 13424 KachelY + 1 2703 -0.56757289 1.42592406 -32.519531 81.699431
    Unten rechts KachelX + 1 13425 KachelY + 1 2703 -0.56738114 1.42592406 -32.508545 81.699431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42595174-1.42592406) × R
    2.76799999998634e-05 × 6371000     		dl = 176.34927999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42595174-1.42592406) × R
    2.76799999998634e-05 × 6371000     		dr = 176.34927999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56757289--0.56738114) × cos(1.42595174) × R
    0.000191750000000046 × 0.144338645681863 × 6371000     		do = 176.32975485685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56757289--0.56738114) × cos(1.42592406) × R
    0.000191750000000046 × 0.144366035771292 × 6371000     		du = 176.363215665156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42595174)-sin(1.42592406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144338645681863-0.144366035771292)×R²
    abs(-0.56738114--0.56757289)×2.73900894282308e-05×R²
    0.000191750000000046×2.73900894282308e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.73900894282308e-05×40589641000000     		ar = 31098.5757079578m²