Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13424 / 12561
↖ ↑ ↗
← S 68.792094°
E114.960937°		 ← 883.86 m → S 68.792094°
E114.982910°		 →
↑
883.66 m
↓
↑
883.66 m
↓
S 68.800041°
E114.960937°		 ← 883.55 m →
780 894 m²		 S 68.800041°
E114.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819366455078125 y=0.766693115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819366455078125 × 214)
    floor (0.819366455078125 × 16384)
    floor (13424.5)     		tx = 13424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766693115234375 × 214)
    floor (0.766693115234375 × 16384)
    floor (12561.5)     		ty = 12561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13424 / 12561 ti = "14/13424/12561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13424/12561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13424 ÷ 214
    13424 ÷ 16384     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12561 ÷ 214
    12561 ÷ 16384     		y = 0.76666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6754905155202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6754905155202))-π/2
    2×atan(0.187216324442863)-π/2
    2×0.185073894627907-π/2
    0.370147789255814-1.57079632675     		φ = -1.20064854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20064854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.792094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13424 KachelY 12561 2.00644687 -1.20064854 114.960937 -68.792094
    Oben rechts KachelX + 1 13425 KachelY 12561 2.00683037 -1.20064854 114.982910 -68.792094
    Unten links KachelX 13424 KachelY + 1 12562 2.00644687 -1.20078724 114.960937 -68.800041
    Unten rechts KachelX + 1 13425 KachelY + 1 12562 2.00683037 -1.20078724 114.982910 -68.800041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20064854--1.20078724) × R
    0.000138699999999936 × 6371000     		dl = 883.657699999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20064854--1.20078724) × R
    0.000138699999999936 × 6371000     		dr = 883.657699999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00683037) × cos(-1.20064854) × R
    0.00038349999999987 × 0.361753213685652 × 6371000     		do = 883.86384930376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00683037) × cos(-1.20078724) × R
    0.00038349999999987 × 0.361623903817399 × 6371000     		du = 883.547909282819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20064854)-sin(-1.20078724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361753213685652-0.361623903817399)×R²
    abs(2.00683037-2.00644687)×0.000129309868253435×R²
    0.00038349999999987×0.000129309868253435×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129309868253435×40589641000000     		ar = 780893.506025677m²