Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13423 / 2703
↖ ↑ ↗
← N 81.699431°
W 32.530518°		 ← 176.36 m → N 81.699431°
W 32.519531°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
N 81.697845°
W 32.530518°		 ← 176.40 m →
31 104 m²		 N 81.697845°
W 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409652709960938 y=0.0825042724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409652709960938 × 215)
    floor (0.409652709960938 × 32768)
    floor (13423.5)     		tx = 13423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825042724609375 × 215)
    floor (0.0825042724609375 × 32768)
    floor (2703.5)     		ty = 2703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13423 / 2703 ti = "15/13423/2703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13423/2703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13423 ÷ 215
    13423 ÷ 32768     		x = 0.409637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2703 ÷ 215
    2703 ÷ 32768     		y = 0.082489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.18072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56776464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082489013671875 × 2 - 1) × π
    0.83502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62329889480795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56776464} λ = -0.56776464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62329889480795))-π/2
    2×atan(13.7811111154788)-π/2
    2×1.49836019434019-π/2
    2.99672038868039-1.57079632675     		φ = 1.42592406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56776464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.530518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42592406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.699431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13423 KachelY 2703 -0.56776464 1.42592406 -32.530518 81.699431
    Oben rechts KachelX + 1 13424 KachelY 2703 -0.56757289 1.42592406 -32.519531 81.699431
    Unten links KachelX 13423 KachelY + 1 2704 -0.56776464 1.42589638 -32.530518 81.697845
    Unten rechts KachelX + 1 13424 KachelY + 1 2704 -0.56757289 1.42589638 -32.519531 81.697845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42592406-1.42589638) × R
    2.76800000000854e-05 × 6371000     		dl = 176.349280000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42592406-1.42589638) × R
    2.76800000000854e-05 × 6371000     		dr = 176.349280000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56776464--0.56757289) × cos(1.42592406) × R
    0.000191750000000046 × 0.144366035771292 × 6371000     		do = 176.363215665156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56776464--0.56757289) × cos(1.42589638) × R
    0.000191750000000046 × 0.144393425750109 × 6371000     		du = 176.396676338337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42592406)-sin(1.42589638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144366035771292-0.144393425750109)×R²
    abs(-0.56757289--0.56776464)×2.73899788177379e-05×R²
    0.000191750000000046×2.73899788177379e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.73899788177379e-05×40589641000000     		ar = 31104.4764859628m²