Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13422 / 5243
↖ ↑ ↗
← N 54.226708°
E114.916992°		 ← 1 428.29 m → N 54.226708°
E114.938965°		 →
↑
1 428.51 m
↓
↑
1 428.51 m
↓
N 54.213861°
E114.916992°		 ← 1 428.74 m →
2 040 639 m²		 N 54.213861°
E114.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819244384765625 y=0.320037841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819244384765625 × 214)
    floor (0.819244384765625 × 16384)
    floor (13422.5)     		tx = 13422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320037841796875 × 214)
    floor (0.320037841796875 × 16384)
    floor (5243.5)     		ty = 5243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13422 / 5243 ti = "14/13422/5243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13422/5243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13422 ÷ 214
    13422 ÷ 16384     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5243 ÷ 214
    5243 ÷ 16384     		y = 0.32000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32000732421875 × 2 - 1) × π
    0.3599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13092733583636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13092733583636))-π/2
    2×atan(3.09852854480351)-π/2
    2×1.25861545989066-π/2
    2.51723091978132-1.57079632675     		φ = 0.94643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.226708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13422 KachelY 5243 2.00567988 0.94643459 114.916992 54.226708
    Oben rechts KachelX + 1 13423 KachelY 5243 2.00606338 0.94643459 114.938965 54.226708
    Unten links KachelX 13422 KachelY + 1 5244 2.00567988 0.94621037 114.916992 54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 13423 KachelY + 1 5244 2.00606338 0.94621037 114.938965 54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94643459-0.94621037) × R
    0.000224219999999997 × 6371000     		dl = 1428.50561999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94643459-0.94621037) × R
    0.000224219999999997 × 6371000     		dr = 1428.50561999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00606338) × cos(0.94643459) × R
    0.00038349999999987 × 0.584579545877294 × 6371000     		do = 1428.29063598127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00606338) × cos(0.94621037) × R
    0.00038349999999987 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 1428.73507604019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94643459)-sin(0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584579545877294-0.584761449028704)×R²
    abs(2.00606338-2.00567988)×0.000181903151409646×R²
    0.00038349999999987×0.000181903151409646×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181903151409646×40589641000000     		ar = 2040638.65160298m²