Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13422 / 12556
↖ ↑ ↗
← S 68.752315°
E114.916992°		 ← 885.45 m → S 68.752315°
E114.938965°		 →
↑
885.31 m
↓
↑
885.31 m
↓
S 68.760277°
E114.916992°		 ← 885.13 m →
783 757 m²		 S 68.760277°
E114.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819244384765625 y=0.766387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819244384765625 × 214)
    floor (0.819244384765625 × 16384)
    floor (13422.5)     		tx = 13422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766387939453125 × 214)
    floor (0.766387939453125 × 16384)
    floor (12556.5)     		ty = 12556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13422 / 12556 ti = "14/13422/12556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13422/12556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13422 ÷ 214
    13422 ÷ 16384     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12556 ÷ 214
    12556 ÷ 16384     		y = 0.766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.53271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6735730395354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6735730395354))-π/2
    2×atan(0.187575651639485)-π/2
    2×0.185421031332657-π/2
    0.370842062665314-1.57079632675     		φ = -1.19995426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19995426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.752315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13422 KachelY 12556 2.00567988 -1.19995426 114.916992 -68.752315
    Oben rechts KachelX + 1 13423 KachelY 12556 2.00606338 -1.19995426 114.938965 -68.752315
    Unten links KachelX 13422 KachelY + 1 12557 2.00567988 -1.20009322 114.916992 -68.760277
    Unten rechts KachelX + 1 13423 KachelY + 1 12557 2.00606338 -1.20009322 114.938965 -68.760277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19995426--1.20009322) × R
    0.000138960000000132 × 6371000     		dl = 885.314160000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19995426--1.20009322) × R
    0.000138960000000132 × 6371000     		dr = 885.314160000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00606338) × cos(-1.19995426) × R
    0.00038349999999987 × 0.362400385565398 × 6371000     		do = 885.445070443347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00606338) × cos(-1.20009322) × R
    0.00038349999999987 × 0.362270868218767 × 6371000     		du = 885.128623494946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19995426)-sin(-1.20009322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362400385565398-0.362270868218767)×R²
    abs(2.00606338-2.00567988)×0.000129517346631192×R²
    0.00038349999999987×0.000129517346631192×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129517346631192×40589641000000     		ar = 783756.982544878m²