Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13421 / 5427
↖ ↑ ↗
← N 51.795027°
E114.895019°		 ← 1 511.11 m → N 51.795027°
E114.916992°		 →
↑
1 511.33 m
↓
↑
1 511.33 m
↓
N 51.781435°
E114.895019°		 ← 1 511.57 m →
2 284 129 m²		 N 51.781435°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819183349609375 y=0.331268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819183349609375 × 214)
    floor (0.819183349609375 × 16384)
    floor (13421.5)     		tx = 13421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331268310546875 × 214)
    floor (0.331268310546875 × 16384)
    floor (5427.5)     		ty = 5427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13421 / 5427 ti = "14/13421/5427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13421/5427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13421 ÷ 214
    13421 ÷ 16384     		x = 0.81915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5427 ÷ 214
    5427 ÷ 16384     		y = 0.33123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81915283203125 × 2 - 1) × π
    0.6383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00529638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33123779296875 × 2 - 1) × π
    0.3375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06036421959564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00529638} λ = 2.00529638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06036421959564))-π/2
    2×atan(2.88742245361288)-π/2
    2×1.23739504401349-π/2
    2.47479008802698-1.57079632675     		φ = 0.90399376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00529638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.895019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90399376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.795027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13421 KachelY 5427 2.00529638 0.90399376 114.895019 51.795027
    Oben rechts KachelX + 1 13422 KachelY 5427 2.00567988 0.90399376 114.916992 51.795027
    Unten links KachelX 13421 KachelY + 1 5428 2.00529638 0.90375654 114.895019 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 13422 KachelY + 1 5428 2.00567988 0.90375654 114.916992 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90399376-0.90375654) × R
    0.000237219999999927 × 6371000     		dl = 1511.32861999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90399376-0.90375654) × R
    0.000237219999999927 × 6371000     		dr = 1511.32861999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(0.90399376) × R
    0.000383500000000314 × 0.618476599538634 × 6371000     		do = 1511.11057840709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(0.90375654) × R
    0.000383500000000314 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 1511.56598312811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90399376)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618476599538634-0.618662990374151)×R²
    abs(2.00567988-2.00529638)×0.000186390835516304×R²
    0.000383500000000314×0.000186390835516304×6371000²
    0.000383500000000314×0.000186390835516304×40589641000000     		ar = 2284128.80893611m²