Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13421 / 5246
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
E114.895019°		 ← 1 429.62 m → N 54.188156°
E114.916992°		 →
↑
1 429.84 m
↓
↑
1 429.84 m
↓
N 54.175297°
E114.895019°		 ← 1 430.07 m →
2 044 457 m²		 N 54.175297°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819183349609375 y=0.320220947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819183349609375 × 214)
    floor (0.819183349609375 × 16384)
    floor (13421.5)     		tx = 13421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320220947265625 × 214)
    floor (0.320220947265625 × 16384)
    floor (5246.5)     		ty = 5246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13421 / 5246 ti = "14/13421/5246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13421/5246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13421 ÷ 214
    13421 ÷ 16384     		x = 0.81915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5246 ÷ 214
    5246 ÷ 16384     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81915283203125 × 2 - 1) × π
    0.6383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00529638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00529638} λ = 2.00529638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00529638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.895019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13421 KachelY 5246 2.00529638 0.94576173 114.895019 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 13422 KachelY 5246 2.00567988 0.94576173 114.916992 54.188156
    Unten links KachelX 13421 KachelY + 1 5247 2.00529638 0.94553730 114.895019 54.175297
    Unten rechts KachelX + 1 13422 KachelY + 1 5247 2.00567988 0.94553730 114.916992 54.175297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94553730) × R
    0.000224429999999942 × 6371000     		dl = 1429.84352999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94553730) × R
    0.000224429999999942 × 6371000     		dr = 1429.84352999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(0.94576173) × R
    0.000383500000000314 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 1429.62413692195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(0.94553730) × R
    0.000383500000000314 × 0.585307314487222 × 6371000     		du = 1430.06877738054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94553730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585307314487222)×R²
    abs(2.00567988-2.00529638)×0.000181985172214127×R²
    0.000383500000000314×0.000181985172214127×6371000²
    0.000383500000000314×0.000181985172214127×40589641000000     		ar = 2044456.71423208m²