Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13421 / 2707
↖ ↑ ↗
← N 81.693084°
W 32.552490°		 ← 176.49 m → N 81.693084°
W 32.541504°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 81.691497°
W 32.552490°		 ← 176.52 m →
31 149 m²		 N 81.691497°
W 32.541504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409591674804688 y=0.0826263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409591674804688 × 215)
    floor (0.409591674804688 × 32768)
    floor (13421.5)     		tx = 13421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826263427734375 × 215)
    floor (0.0826263427734375 × 32768)
    floor (2707.5)     		ty = 2707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13421 / 2707 ti = "15/13421/2707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13421/2707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13421 ÷ 215
    13421 ÷ 32768     		x = 0.409576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2707 ÷ 215
    2707 ÷ 32768     		y = 0.082611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.18084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56814813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082611083984375 × 2 - 1) × π
    0.83477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62253190441403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56814813} λ = -0.56814813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62253190441403))-π/2
    2×atan(13.770545188136)-π/2
    2×1.49830480964509-π/2
    2.99660961929019-1.57079632675     		φ = 1.42581329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56814813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.552490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42581329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.693084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13421 KachelY 2707 -0.56814813 1.42581329 -32.552490 81.693084
    Oben rechts KachelX + 1 13422 KachelY 2707 -0.56795639 1.42581329 -32.541504 81.693084
    Unten links KachelX 13421 KachelY + 1 2708 -0.56814813 1.42578559 -32.552490 81.691497
    Unten rechts KachelX + 1 13422 KachelY + 1 2708 -0.56795639 1.42578559 -32.541504 81.691497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42581329-1.42578559) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42581329-1.42578559) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56814813--0.56795639) × cos(1.42581329) × R
    0.000191739999999996 × 0.144475644498106 × 6371000     		do = 176.487913444618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56814813--0.56795639) × cos(1.42578559) × R
    0.000191739999999996 × 0.144503053824158 × 6371000     		du = 176.521396006891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42581329)-sin(1.42578559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144475644498106-0.144503053824158)×R²
    abs(-0.56795639--0.56814813)×2.74093260520247e-05×R²
    0.000191739999999996×2.74093260520247e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.74093260520247e-05×40589641000000     		ar = 31148.959002476m²