Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13421 / 12555
↖ ↑ ↗
← S 68.744351°
E114.895019°		 ← 885.76 m → S 68.744351°
E114.916992°		 →
↑
885.57 m
↓
↑
885.57 m
↓
S 68.752315°
E114.895019°		 ← 885.45 m →
784 263 m²		 S 68.752315°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819183349609375 y=0.766326904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819183349609375 × 214)
    floor (0.819183349609375 × 16384)
    floor (13421.5)     		tx = 13421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766326904296875 × 214)
    floor (0.766326904296875 × 16384)
    floor (12555.5)     		ty = 12555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13421 / 12555 ti = "14/13421/12555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13421/12555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13421 ÷ 214
    13421 ÷ 16384     		x = 0.81915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12555 ÷ 214
    12555 ÷ 16384     		y = 0.76629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81915283203125 × 2 - 1) × π
    0.6383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00529638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.5325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67318954433844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00529638} λ = 2.00529638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67318954433844))-π/2
    2×atan(0.18764759979596)-π/2
    2×0.185490533155461-π/2
    0.370981066310921-1.57079632675     		φ = -1.19981526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00529638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.895019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19981526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.744351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13421 KachelY 12555 2.00529638 -1.19981526 114.895019 -68.744351
    Oben rechts KachelX + 1 13422 KachelY 12555 2.00567988 -1.19981526 114.916992 -68.744351
    Unten links KachelX 13421 KachelY + 1 12556 2.00529638 -1.19995426 114.895019 -68.752315
    Unten rechts KachelX + 1 13422 KachelY + 1 12556 2.00567988 -1.19995426 114.916992 -68.752315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19981526--1.19995426) × R
    0.000138999999999889 × 6371000     		dl = 885.568999999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19981526--1.19995426) × R
    0.000138999999999889 × 6371000     		dr = 885.568999999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(-1.19981526) × R
    0.000383500000000314 × 0.362529933193006 × 6371000     		do = 885.761591377633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00529638-2.00567988) × cos(-1.19995426) × R
    0.000383500000000314 × 0.362400385565398 × 6371000     		du = 885.445070444372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19981526)-sin(-1.19995426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362529933193006-0.362400385565398)×R²
    abs(2.00567988-2.00529638)×0.000129547627607862×R²
    0.000383500000000314×0.000129547627607862×6371000²
    0.000383500000000314×0.000129547627607862×40589641000000     		ar = 784262.857413519m²