Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1342 / 1985
↖ ↑ ↗
← N 67.592475°
W121.025390°		 ← 1 862.69 m → N 67.592475°
W120.981445°		 →
↑
1 863.39 m
↓
↑
1 863.39 m
↓
N 67.575717°
W121.025390°		 ← 1 864.01 m →
3 472 151 m²		 N 67.575717°
W120.981445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16387939453125 y=0.24237060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16387939453125 × 213)
    floor (0.16387939453125 × 8192)
    floor (1342.5)     		tx = 1342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24237060546875 × 213)
    floor (0.24237060546875 × 8192)
    floor (1985.5)     		ty = 1985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1342 / 1985 ti = "13/1342/1985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1342/1985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1342 ÷ 213
    1342 ÷ 8192     		x = 0.163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1985 ÷ 213
    1985 ÷ 8192     		y = 0.2423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.67236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11229154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2423095703125 × 2 - 1) × π
    0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11229154} λ = -2.11229154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61911672156702))-π/2
    2×atan(5.04862900144909)-π/2
    2×1.37525378211439-π/2
    2.75050756422878-1.57079632675     		φ = 1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11229154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.025390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1342 KachelY 1985 -2.11229154 1.17971124 -121.025390 67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 1343 KachelY 1985 -2.11152455 1.17971124 -120.981445 67.592475
    Unten links KachelX 1342 KachelY + 1 1986 -2.11229154 1.17941876 -121.025390 67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 1343 KachelY + 1 1986 -2.11152455 1.17941876 -120.981445 67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17971124-1.17941876) × R
    0.00029248000000015 × 6371000     		dl = 1863.39008000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17971124-1.17941876) × R
    0.00029248000000015 × 6371000     		dr = 1863.39008000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11229154--2.11152455) × cos(1.17971124) × R
    0.000766990000000245 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 1862.69116173365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11229154--2.11152455) × cos(1.17941876) × R
    0.000766990000000245 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 1864.01237313491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17971124)-sin(1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381462177989466)×R²
    abs(-2.11152455--2.11229154)×0.000270380275352811×R²
    0.000766990000000245×0.000270380275352811×6371000²
    0.000766990000000245×0.000270380275352811×40589641000000     		ar = 3472151.22374439m²