Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13419 / 12549
↖ ↑ ↗
← S 68.696505°
E114.851074°		 ← 887.66 m → S 68.696505°
E114.873047°		 →
↑
887.54 m
↓
↑
887.54 m
↓
S 68.704486°
E114.851074°		 ← 887.35 m →
787 699 m²		 S 68.704486°
E114.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819061279296875 y=0.765960693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819061279296875 × 214)
    floor (0.819061279296875 × 16384)
    floor (13419.5)     		tx = 13419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765960693359375 × 214)
    floor (0.765960693359375 × 16384)
    floor (12549.5)     		ty = 12549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13419 / 12549 ti = "14/13419/12549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13419/12549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13419 ÷ 214
    13419 ÷ 16384     		x = 0.81903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12549 ÷ 214
    12549 ÷ 16384     		y = 0.76593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81903076171875 × 2 - 1) × π
    0.6380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00452939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.5318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67088857315668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00452939} λ = 2.00452939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67088857315668))-π/2
    2×atan(0.188079868643779)-π/2
    2×0.185908066098271-π/2
    0.371816132196541-1.57079632675     		φ = -1.19898019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00452939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19898019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.696505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13419 KachelY 12549 2.00452939 -1.19898019 114.851074 -68.696505
    Oben rechts KachelX + 1 13420 KachelY 12549 2.00491289 -1.19898019 114.873047 -68.696505
    Unten links KachelX 13419 KachelY + 1 12550 2.00452939 -1.19911950 114.851074 -68.704486
    Unten rechts KachelX + 1 13420 KachelY + 1 12550 2.00491289 -1.19911950 114.873047 -68.704486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19898019--1.19911950) × R
    0.000139310000000004 × 6371000     		dl = 887.544010000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19898019--1.19911950) × R
    0.000139310000000004 × 6371000     		dr = 887.544010000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00452939-2.00491289) × cos(-1.19898019) × R
    0.00038349999999987 × 0.363308068663909 × 6371000     		do = 887.662793042752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00452939-2.00491289) × cos(-1.19911950) × R
    0.00038349999999987 × 0.363178274321431 × 6371000     		du = 887.345669316355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19898019)-sin(-1.19911950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363308068663909-0.363178274321431)×R²
    abs(2.00491289-2.00452939)×0.000129794342477618×R²
    0.00038349999999987×0.000129794342477618×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129794342477618×40589641000000     		ar = 787699.065506847m²