Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13418 / 12551
↖ ↑ ↗
← S 68.712465°
E114.829102°		 ← 887.01 m → S 68.712465°
E114.851074°		 →
↑
886.84 m
↓
↑
886.84 m
↓
S 68.720440°
E114.829102°		 ← 886.69 m →
786 494 m²		 S 68.720440°
E114.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819000244140625 y=0.766082763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819000244140625 × 214)
    floor (0.819000244140625 × 16384)
    floor (13418.5)     		tx = 13418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766082763671875 × 214)
    floor (0.766082763671875 × 16384)
    floor (12551.5)     		ty = 12551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13418 / 12551 ti = "14/13418/12551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13418/12551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13418 ÷ 214
    13418 ÷ 16384     		x = 0.8189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12551 ÷ 214
    12551 ÷ 16384     		y = 0.76605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8189697265625 × 2 - 1) × π
    0.637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00414590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.5321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6716555635506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00414590} λ = 2.00414590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6716555635506))-π/2
    2×atan(0.187935668498371)-π/2
    2×0.185768788970703-π/2
    0.371537577941406-1.57079632675     		φ = -1.19925875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00414590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.829102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19925875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.712465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13418 KachelY 12551 2.00414590 -1.19925875 114.829102 -68.712465
    Oben rechts KachelX + 1 13419 KachelY 12551 2.00452939 -1.19925875 114.851074 -68.712465
    Unten links KachelX 13418 KachelY + 1 12552 2.00414590 -1.19939795 114.829102 -68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 13419 KachelY + 1 12552 2.00452939 -1.19939795 114.851074 -68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19925875--1.19939795) × R
    0.000139200000000006 × 6371000     		dl = 886.843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19925875--1.19939795) × R
    0.000139200000000006 × 6371000     		dr = 886.843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00414590-2.00452939) × cos(-1.19925875) × R
    0.000383489999999931 × 0.363048528836867 × 6371000     		do = 887.005535141815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00414590-2.00452939) × cos(-1.19939795) × R
    0.000383489999999931 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 886.688635687371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19925875)-sin(-1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363048528836867-0.362918822903626)×R²
    abs(2.00452939-2.00414590)×0.000129705933240853×R²
    0.000383489999999931×0.000129705933240853×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129705933240853×40589641000000     		ar = 786494.308410621m²