Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13415 / 21478
↖ ↑ ↗
← S 48.734456°
W 32.618408°		 ← 805.73 m → S 48.734456°
W 32.607422°		 →
↑
805.61 m
↓
↑
805.61 m
↓
S 48.741701°
W 32.618408°		 ← 805.62 m →
649 061 m²		 S 48.741701°
W 32.607422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409408569335938 y=0.655471801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409408569335938 × 215)
    floor (0.409408569335938 × 32768)
    floor (13415.5)     		tx = 13415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655471801757812 × 215)
    floor (0.655471801757812 × 32768)
    floor (21478.5)     		ty = 21478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13415 / 21478 ti = "15/13415/21478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13415/21478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13415 ÷ 215
    13415 ÷ 32768     		x = 0.409393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21478 ÷ 215
    21478 ÷ 32768     		y = 0.65545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.18121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56929862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.976762266658264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56929862} λ = -0.56929862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976762266658264))-π/2
    2×atan(0.376528225412045)-π/2
    2×0.360109810704859-π/2
    0.720219621409717-1.57079632675     		φ = -0.85057671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56929862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.618408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85057671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.734456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13415 KachelY 21478 -0.56929862 -0.85057671 -32.618408 -48.734456
    Oben rechts KachelX + 1 13416 KachelY 21478 -0.56910687 -0.85057671 -32.607422 -48.734456
    Unten links KachelX 13415 KachelY + 1 21479 -0.56929862 -0.85070316 -32.618408 -48.741701
    Unten rechts KachelX + 1 13416 KachelY + 1 21479 -0.56910687 -0.85070316 -32.607422 -48.741701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85057671--0.85070316) × R
    0.00012645 × 6371000     		dl = 805.612950000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85057671--0.85070316) × R
    0.00012645 × 6371000     		dr = 805.612950000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56929862--0.56910687) × cos(-0.85057671) × R
    0.000191749999999935 × 0.659549765233197 × 6371000     		do = 805.731880536886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56929862--0.56910687) × cos(-0.85070316) × R
    0.000191749999999935 × 0.659454712439794 × 6371000     		du = 805.615760313643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85057671)-sin(-0.85070316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659549765233197-0.659454712439794)×R²
    abs(-0.56910687--0.56929862)×9.50527934026058e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50527934026058e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50527934026058e-05×40589641000000     		ar = 649061.264075502m²