Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13413 / 5346
↖ ↑ ↗
← N 52.882391°
E114.719238°		 ← 1 474.40 m → N 52.882391°
E114.741211°		 →
↑
1 474.57 m
↓
↑
1 474.57 m
↓
N 52.869130°
E114.719238°		 ← 1 474.85 m →
2 174 441 m²		 N 52.869130°
E114.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818695068359375 y=0.326324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818695068359375 × 214)
    floor (0.818695068359375 × 16384)
    floor (13413.5)     		tx = 13413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326324462890625 × 214)
    floor (0.326324462890625 × 16384)
    floor (5346.5)     		ty = 5346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13413 / 5346 ti = "14/13413/5346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13413/5346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13413 ÷ 214
    13413 ÷ 16384     		x = 0.81866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5346 ÷ 214
    5346 ÷ 16384     		y = 0.3262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81866455078125 × 2 - 1) × π
    0.6373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00222842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3262939453125 × 2 - 1) × π
    0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00222842} λ = 2.00222842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09142733054944))-π/2
    2×atan(2.9785223759546)-π/2
    2×1.24688408496615-π/2
    2.49376816993229-1.57079632675     		φ = 0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00222842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13413 KachelY 5346 2.00222842 0.92297184 114.719238 52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 13414 KachelY 5346 2.00261192 0.92297184 114.741211 52.882391
    Unten links KachelX 13413 KachelY + 1 5347 2.00222842 0.92274039 114.719238 52.869130
    Unten rechts KachelX + 1 13414 KachelY + 1 5347 2.00261192 0.92274039 114.741211 52.869130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92297184-0.92274039) × R
    0.000231450000000022 × 6371000     		dl = 1474.56795000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92297184-0.92274039) × R
    0.000231450000000022 × 6371000     		dr = 1474.56795000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00222842-2.00261192) × cos(0.92297184) × R
    0.000383500000000314 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 1474.40394627838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00222842-2.00261192) × cos(0.92274039) × R
    0.000383500000000314 × 0.603637625875086 × 6371000     		du = 1474.85483309285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92297184)-sin(0.92274039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603637625875086)×R²
    abs(2.00261192-2.00222842)×0.000184541719034148×R²
    0.000383500000000314×0.000184541719034148×6371000²
    0.000383500000000314×0.000184541719034148×40589641000000     		ar = 2174441.24586581m²