Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13412 / 3804
↖ ↑ ↗
← N 79.757749°
W 32.651367°		 ← 217.21 m → N 79.757749°
W 32.640381°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 79.755796°
W 32.651367°		 ← 217.25 m →
47 179 m²		 N 79.755796°
W 32.640381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409317016601562 y=0.116104125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409317016601562 × 215)
    floor (0.409317016601562 × 32768)
    floor (13412.5)     		tx = 13412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116104125976562 × 215)
    floor (0.116104125976562 × 32768)
    floor (3804.5)     		ty = 3804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13412 / 3804 ti = "15/13412/3804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13412/3804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13412 ÷ 215
    13412 ÷ 32768     		x = 0.4093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3804 ÷ 215
    3804 ÷ 32768     		y = 0.1160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56987386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1160888671875 × 2 - 1) × π
    0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56987386} λ = -0.56987386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41218478888123))-π/2
    2×atan(11.1583130918237)-π/2
    2×1.48141582506369-π/2
    2.96283165012739-1.57079632675     		φ = 1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56987386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.651367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13412 KachelY 3804 -0.56987386 1.39203532 -32.651367 79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 13413 KachelY 3804 -0.56968212 1.39203532 -32.640381 79.757749
    Unten links KachelX 13412 KachelY + 1 3805 -0.56987386 1.39200123 -32.651367 79.755796
    Unten rechts KachelX + 1 13413 KachelY + 1 3805 -0.56968212 1.39200123 -32.640381 79.755796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39203532-1.39200123) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39203532-1.39200123) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56987386--0.56968212) × cos(1.39203532) × R
    0.000191739999999996 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 217.2089095142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56987386--0.56968212) × cos(1.39200123) × R
    0.000191739999999996 × 0.177844007337086 × 6371000     		du = 217.24988929856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39203532)-sin(1.39200123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.177844007337086)×R²
    abs(-0.56968212--0.56987386)×3.35466641382676e-05×R²
    0.000191739999999996×3.35466641382676e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.35466641382676e-05×40589641000000     		ar = 47179.4862925264m²