Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13411 / 5721
↖ ↑ ↗
← N 47.620975°
E114.675293°		 ← 1 646.85 m → N 47.620975°
E114.697266°		 →
↑
1 647.03 m
↓
↑
1 647.03 m
↓
N 47.606163°
E114.675293°		 ← 1 647.31 m →
2 712 794 m²		 N 47.606163°
E114.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818572998046875 y=0.349212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818572998046875 × 214)
    floor (0.818572998046875 × 16384)
    floor (13411.5)     		tx = 13411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349212646484375 × 214)
    floor (0.349212646484375 × 16384)
    floor (5721.5)     		ty = 5721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13411 / 5721 ti = "14/13411/5721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13411/5721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13411 ÷ 214
    13411 ÷ 16384     		x = 0.81854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5721 ÷ 214
    5721 ÷ 16384     		y = 0.34918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81854248046875 × 2 - 1) × π
    0.6370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00146143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34918212890625 × 2 - 1) × π
    0.3016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.94761663168927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00146143} λ = 2.00146143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94761663168927))-π/2
    2×atan(2.57955429901219)-π/2
    2×1.20096957039121-π/2
    2.40193914078243-1.57079632675     		φ = 0.83114281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00146143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83114281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.620975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13411 KachelY 5721 2.00146143 0.83114281 114.675293 47.620975
    Oben rechts KachelX + 1 13412 KachelY 5721 2.00184493 0.83114281 114.697266 47.620975
    Unten links KachelX 13411 KachelY + 1 5722 2.00146143 0.83088429 114.675293 47.606163
    Unten rechts KachelX + 1 13412 KachelY + 1 5722 2.00184493 0.83088429 114.697266 47.606163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83114281-0.83088429) × R
    0.00025852000000004 × 6371000     		dl = 1647.03092000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83114281-0.83088429) × R
    0.00025852000000004 × 6371000     		dr = 1647.03092000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00146143-2.00184493) × cos(0.83114281) × R
    0.00038349999999987 × 0.67403200420583 × 6371000     		do = 1646.84790418746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00146143-2.00184493) × cos(0.83088429) × R
    0.00038349999999987 × 0.674222950958275 × 6371000     		du = 1647.31444028235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83114281)-sin(0.83088429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67403200420583-0.674222950958275)×R²
    abs(2.00184493-2.00146143)×0.000190946752444798×R²
    0.00038349999999987×0.000190946752444798×6371000²
    0.00038349999999987×0.000190946752444798×40589641000000     		ar = 2712793.63353044m²