Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13411 / 12533
↖ ↑ ↗
← S 68.568414°
E114.675293°		 ← 892.75 m → S 68.568414°
E114.697266°		 →
↑
892.58 m
↓
↑
892.58 m
↓
S 68.576441°
E114.675293°		 ← 892.43 m →
796 706 m²		 S 68.576441°
E114.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818572998046875 y=0.764984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818572998046875 × 214)
    floor (0.818572998046875 × 16384)
    floor (13411.5)     		tx = 13411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764984130859375 × 214)
    floor (0.764984130859375 × 16384)
    floor (12533.5)     		ty = 12533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13411 / 12533 ti = "14/13411/12533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13411/12533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13411 ÷ 214
    13411 ÷ 16384     		x = 0.81854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12533 ÷ 214
    12533 ÷ 16384     		y = 0.76495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81854248046875 × 2 - 1) × π
    0.6370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00146143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.5299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66475265000531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00146143} λ = 2.00146143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66475265000531))-π/2
    2×atan(0.18923746007824)-π/2
    2×0.187025872362092-π/2
    0.374051744724185-1.57079632675     		φ = -1.19674458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00146143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19674458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.568414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13411 KachelY 12533 2.00146143 -1.19674458 114.675293 -68.568414
    Oben rechts KachelX + 1 13412 KachelY 12533 2.00184493 -1.19674458 114.697266 -68.568414
    Unten links KachelX 13411 KachelY + 1 12534 2.00146143 -1.19688468 114.675293 -68.576441
    Unten rechts KachelX + 1 13412 KachelY + 1 12534 2.00184493 -1.19688468 114.697266 -68.576441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19674458--1.19688468) × R
    0.000140099999999865 × 6371000     		dl = 892.577099999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19674458--1.19688468) × R
    0.000140099999999865 × 6371000     		dr = 892.577099999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00146143-2.00184493) × cos(-1.19674458) × R
    0.00038349999999987 × 0.365390007710217 × 6371000     		do = 892.749549952905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00146143-2.00184493) × cos(-1.19688468) × R
    0.00038349999999987 × 0.365259591406087 × 6371000     		du = 892.430906600974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19674458)-sin(-1.19688468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365390007710217-0.365259591406087)×R²
    abs(2.00184493-2.00146143)×0.00013041630413041×R²
    0.00038349999999987×0.00013041630413041×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013041630413041×40589641000000     		ar = 796705.598747109m²