Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13410 / 3806
↖ ↑ ↗
← N 79.753841°
W 32.673340°		 ← 217.30 m → N 79.753841°
W 32.662353°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
N 79.751887°
W 32.673340°		 ← 217.34 m →
47 227 m²		 N 79.751887°
W 32.662353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409255981445312 y=0.116165161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409255981445312 × 215)
    floor (0.409255981445312 × 32768)
    floor (13410.5)     		tx = 13410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116165161132812 × 215)
    floor (0.116165161132812 × 32768)
    floor (3806.5)     		ty = 3806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13410 / 3806 ti = "15/13410/3806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13410/3806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13410 ÷ 215
    13410 ÷ 32768     		x = 0.40924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3806 ÷ 215
    3806 ÷ 32768     		y = 0.11614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11614990234375 × 2 - 1) × π
    0.7677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41180129368426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57025736} λ = -0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41180129368426))-π/2
    2×atan(11.1540347527605)-π/2
    2×1.48138172390132-π/2
    2.96276344780263-1.57079632675     		φ = 1.39196712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39196712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.753841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13410 KachelY 3806 -0.57025736 1.39196712 -32.673340 79.753841
    Oben rechts KachelX + 1 13411 KachelY 3806 -0.57006561 1.39196712 -32.662353 79.753841
    Unten links KachelX 13410 KachelY + 1 3807 -0.57025736 1.39193301 -32.673340 79.751887
    Unten rechts KachelX + 1 13411 KachelY + 1 3807 -0.57006561 1.39193301 -32.662353 79.751887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39196712-1.39193301) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dl = 217.31480999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39196712-1.39193301) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dr = 217.31480999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57025736--0.57006561) × cos(1.39196712) × R
    0.000191750000000046 × 0.177877573475599 × 6371000     		do = 217.302225452603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57025736--0.57006561) × cos(1.39193301) × R
    0.000191750000000046 × 0.177911139407153 × 6371000     		du = 217.343230912052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39196712)-sin(1.39193301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177877573475599-0.177911139407153)×R²
    abs(-0.57006561--0.57025736)×3.3565931553986e-05×R²
    0.000191750000000046×3.3565931553986e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.3565931553986e-05×40589641000000     		ar = 47227.4473883671m²