Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13410 / 25570
↖ ↑ ↗
← S 70.502908°
W 32.673340°		 ← 407.73 m → S 70.502908°
W 32.662353°		 →
↑
407.74 m
↓
↑
407.74 m
↓
S 70.506575°
W 32.673340°		 ← 407.66 m →
166 236 m²		 S 70.506575°
W 32.662353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409255981445312 y=0.780349731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409255981445312 × 215)
    floor (0.409255981445312 × 32768)
    floor (13410.5)     		tx = 13410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780349731445312 × 215)
    floor (0.780349731445312 × 32768)
    floor (25570.5)     		ty = 25570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13410 / 25570 ti = "15/13410/25570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13410/25570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13410 ÷ 215
    13410 ÷ 32768     		x = 0.40924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25570 ÷ 215
    25570 ÷ 32768     		y = 0.78033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57025736} λ = -0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76139343963934))-π/2
    2×atan(0.171805296640022)-π/2
    2×0.170144221163029-π/2
    0.340288442326057-1.57079632675     		φ = -1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13410 KachelY 25570 -0.57025736 -1.23050788 -32.673340 -70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 13411 KachelY 25570 -0.57006561 -1.23050788 -32.662353 -70.502908
    Unten links KachelX 13410 KachelY + 1 25571 -0.57025736 -1.23057188 -32.673340 -70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 13411 KachelY + 1 25571 -0.57006561 -1.23057188 -32.662353 -70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23050788--1.23057188) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dl = 407.744000000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23050788--1.23057188) × R
    6.4000000000064e-05 × 6371000     		dr = 407.744000000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57025736--0.57006561) × cos(-1.23050788) × R
    0.000191750000000046 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 407.73311010882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57025736--0.57006561) × cos(-1.23057188) × R
    0.000191750000000046 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 407.6594076072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23050788)-sin(-1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333698682002156)×R²
    abs(-0.57006561--0.57025736)×6.03308232111077e-05×R²
    0.000191750000000046×6.03308232111077e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.03308232111077e-05×40589641000000     		ar = 166235.703428406m²