Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1341 / 1868
↖ ↑ ↗
← N 69.472968°
W121.069336°		 ← 1 713.47 m → N 69.472968°
W121.025390°		 →
↑
1 714.05 m
↓
↑
1 714.05 m
↓
N 69.457554°
W121.069336°		 ← 1 714.70 m →
2 938 031 m²		 N 69.457554°
W121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16375732421875 y=0.22808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16375732421875 × 213)
    floor (0.16375732421875 × 8192)
    floor (1341.5)     		tx = 1341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22808837890625 × 213)
    floor (0.22808837890625 × 8192)
    floor (1868.5)     		ty = 1868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1341 / 1868 ti = "13/1341/1868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1341/1868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1341 ÷ 213
    1341 ÷ 8192     		x = 0.1636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1868 ÷ 213
    1868 ÷ 8192     		y = 0.22802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11305854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22802734375 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11305854} λ = -2.11305854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70885459765576))-π/2
    2×atan(5.52263221765291)-π/2
    2×1.39166418447987-π/2
    2.78332836895974-1.57079632675     		φ = 1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11305854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1341 KachelY 1868 -2.11305854 1.21253204 -121.069336 69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 1342 KachelY 1868 -2.11229154 1.21253204 -121.025390 69.472968
    Unten links KachelX 1341 KachelY + 1 1869 -2.11305854 1.21226300 -121.069336 69.457554
    Unten rechts KachelX + 1 1342 KachelY + 1 1869 -2.11229154 1.21226300 -121.025390 69.457554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21253204-1.21226300) × R
    0.000269039999999832 × 6371000     		dl = 1714.05383999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21253204-1.21226300) × R
    0.000269039999999832 × 6371000     		dr = 1714.05383999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11305854--2.11229154) × cos(1.21253204) × R
    0.00076699999999974 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 1713.46757140351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11305854--2.11229154) × cos(1.21226300) × R
    0.00076699999999974 × 0.350901200079368 × 6371000     		du = 1714.69871555565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21253204)-sin(1.21226300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.350901200079368)×R²
    abs(-2.11229154--2.11305854)×0.000251945112303364×R²
    0.00076699999999974×0.000251945112303364×6371000²
    0.00076699999999974×0.000251945112303364×40589641000000     		ar = 2938030.81187941m²