Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1341 / 1867
↖ ↑ ↗
← N 69.488372°
W121.069336°		 ← 1 712.24 m → N 69.488372°
W121.025390°		 →
↑
1 712.84 m
↓
↑
1 712.84 m
↓
N 69.472968°
W121.069336°		 ← 1 713.47 m →
2 933 848 m²		 N 69.472968°
W121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16375732421875 y=0.22796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16375732421875 × 213)
    floor (0.16375732421875 × 8192)
    floor (1341.5)     		tx = 1341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22796630859375 × 213)
    floor (0.22796630859375 × 8192)
    floor (1867.5)     		ty = 1867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1341 / 1867 ti = "13/1341/1867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1341/1867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1341 ÷ 213
    1341 ÷ 8192     		x = 0.1636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1867 ÷ 213
    1867 ÷ 8192     		y = 0.2279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11305854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2279052734375 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11305854} λ = -2.11305854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70962158804968))-π/2
    2×atan(5.52686964833959)-π/2
    2×1.39179860849896-π/2
    2.78359721699792-1.57079632675     		φ = 1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11305854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1341 KachelY 1867 -2.11305854 1.21280089 -121.069336 69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 1342 KachelY 1867 -2.11229154 1.21280089 -121.025390 69.488372
    Unten links KachelX 1341 KachelY + 1 1868 -2.11305854 1.21253204 -121.069336 69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 1342 KachelY + 1 1868 -2.11229154 1.21253204 -121.025390 69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21280089-1.21253204) × R
    0.000268850000000098 × 6371000     		dl = 1712.84335000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21280089-1.21253204) × R
    0.000268850000000098 × 6371000     		dr = 1712.84335000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11305854--2.11229154) × cos(1.21280089) × R
    0.00076699999999974 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 1712.23717280968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11305854--2.11229154) × cos(1.21253204) × R
    0.00076699999999974 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 1713.46757140351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21280089)-sin(1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350649254967064)×R²
    abs(-2.11229154--2.11305854)×0.000251792538965567×R²
    0.00076699999999974×0.000251792538965567×6371000²
    0.00076699999999974×0.000251792538965567×40589641000000     		ar = 2933847.81276823m²