Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13409 / 5731
↖ ↑ ↗
← N 47.472663°
E114.631348°		 ← 1 651.51 m → N 47.472663°
E114.653320°		 →
↑
1 651.75 m
↓
↑
1 651.75 m
↓
N 47.457808°
E114.631348°		 ← 1 651.98 m →
2 728 267 m²		 N 47.457808°
E114.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818450927734375 y=0.349822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818450927734375 × 214)
    floor (0.818450927734375 × 16384)
    floor (13409.5)     		tx = 13409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349822998046875 × 214)
    floor (0.349822998046875 × 16384)
    floor (5731.5)     		ty = 5731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13409 / 5731 ti = "14/13409/5731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13409/5731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13409 ÷ 214
    13409 ÷ 16384     		x = 0.81842041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5731 ÷ 214
    5731 ÷ 16384     		y = 0.34979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81842041015625 × 2 - 1) × π
    0.6368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00069444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34979248046875 × 2 - 1) × π
    0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00069444} λ = 2.00069444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943781679719666))-π/2
    2×atan(2.56968077651547)-π/2
    2×1.19967529926161-π/2
    2.39935059852322-1.57079632675     		φ = 0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00069444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13409 KachelY 5731 2.00069444 0.82855427 114.631348 47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 13410 KachelY 5731 2.00107794 0.82855427 114.653320 47.472663
    Unten links KachelX 13409 KachelY + 1 5732 2.00069444 0.82829501 114.631348 47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 13410 KachelY + 1 5732 2.00107794 0.82829501 114.653320 47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82855427-0.82829501) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dl = 1651.74545999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82855427-0.82829501) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dr = 1651.74545999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00069444-2.00107794) × cos(0.82855427) × R
    0.00038349999999987 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 1651.51432112092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00069444-2.00107794) × cos(0.82829501) × R
    0.00038349999999987 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 1651.98108556209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82855427)-sin(0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.676132944141508)×R²
    abs(2.00107794-2.00069444)×0.000191040211408144×R²
    0.00038349999999987×0.000191040211408144×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191040211408144×40589641000000     		ar = 2728266.78534046m²