Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13407 / 5353
↖ ↑ ↗
← N 52.789476°
E114.587402°		 ← 1 477.56 m → N 52.789476°
E114.609375°		 →
↑
1 477.75 m
↓
↑
1 477.75 m
↓
N 52.776186°
E114.587402°		 ← 1 478.01 m →
2 183 805 m²		 N 52.776186°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818328857421875 y=0.326751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818328857421875 × 214)
    floor (0.818328857421875 × 16384)
    floor (13407.5)     		tx = 13407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326751708984375 × 214)
    floor (0.326751708984375 × 16384)
    floor (5353.5)     		ty = 5353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13407 / 5353 ti = "14/13407/5353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13407/5353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13407 ÷ 214
    13407 ÷ 16384     		x = 0.81829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5353 ÷ 214
    5353 ÷ 16384     		y = 0.32672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81829833984375 × 2 - 1) × π
    0.6365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99992745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32672119140625 × 2 - 1) × π
    0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99992745} λ = 1.99992745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08874286417072))-π/2
    2×atan(2.97053735533301)-π/2
    2×1.24607324303632-π/2
    2.49214648607264-1.57079632675     		φ = 0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99992745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.587402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13407 KachelY 5353 1.99992745 0.92135016 114.587402 52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 13408 KachelY 5353 2.00031095 0.92135016 114.609375 52.789476
    Unten links KachelX 13407 KachelY + 1 5354 1.99992745 0.92111821 114.587402 52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 13408 KachelY + 1 5354 2.00031095 0.92111821 114.609375 52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92135016-0.92111821) × R
    0.000231949999999981 × 6371000     		dl = 1477.75344999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92135016-0.92111821) × R
    0.000231949999999981 × 6371000     		dr = 1477.75344999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99992745-2.00031095) × cos(0.92135016) × R
    0.00038349999999987 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 1477.56147118074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99992745-2.00031095) × cos(0.92111821) × R
    0.00038349999999987 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 1478.01277668368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92135016)-sin(0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604930128384539)×R²
    abs(2.00031095-1.99992745)×0.00018471308242074×R²
    0.00038349999999987×0.00018471308242074×6371000²
    0.00038349999999987×0.00018471308242074×40589641000000     		ar = 2183805.03054647m²