Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13406 / 3807
↖ ↑ ↗
← N 79.751887°
W 32.717285°		 ← 217.34 m → N 79.751887°
W 32.706299°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
N 79.749932°
W 32.717285°		 ← 217.38 m →
47 250 m²		 N 79.749932°
W 32.706299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409133911132812 y=0.116195678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409133911132812 × 215)
    floor (0.409133911132812 × 32768)
    floor (13406.5)     		tx = 13406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116195678710938 × 215)
    floor (0.116195678710938 × 32768)
    floor (3807.5)     		ty = 3807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13406 / 3807 ti = "15/13406/3807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13406/3807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13406 ÷ 215
    13406 ÷ 32768     		x = 0.40911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3807 ÷ 215
    3807 ÷ 32768     		y = 0.116180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57102435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116180419921875 × 2 - 1) × π
    0.76763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41160954608578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57102435} λ = -0.57102435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41160954608578))-π/2
    2×atan(11.1518961984212)-π/2
    2×1.48136466849361-π/2
    2.96272933698721-1.57079632675     		φ = 1.39193301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57102435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.717285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39193301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.751887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13406 KachelY 3807 -0.57102435 1.39193301 -32.717285 79.751887
    Oben rechts KachelX + 1 13407 KachelY 3807 -0.57083260 1.39193301 -32.706299 79.751887
    Unten links KachelX 13406 KachelY + 1 3808 -0.57102435 1.39189889 -32.717285 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 13407 KachelY + 1 3808 -0.57083260 1.39189889 -32.706299 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39193301-1.39189889) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dl = 217.378520000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39193301-1.39189889) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dr = 217.378520000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57102435--0.57083260) × cos(1.39193301) × R
    0.000191749999999935 × 0.177911139407153 × 6371000     		do = 217.343230911926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57102435--0.57083260) × cos(1.39189889) × R
    0.000191749999999935 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 217.384248139923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39193301)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177911139407153-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.57083260--0.57102435)×3.3575564960836e-05×R²
    0.000191749999999935×3.3575564960836e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.3575564960836e-05×40589641000000     		ar = 47250.2080047327m²