Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13401 / 5730
↖ ↑ ↗
← N 47.487513°
E114.455566°		 ← 1 651.05 m → N 47.487513°
E114.477539°		 →
↑
1 651.30 m
↓
↑
1 651.30 m
↓
N 47.472663°
E114.455566°		 ← 1 651.51 m →
2 726 759 m²		 N 47.472663°
E114.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817962646484375 y=0.349761962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817962646484375 × 214)
    floor (0.817962646484375 × 16384)
    floor (13401.5)     		tx = 13401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349761962890625 × 214)
    floor (0.349761962890625 × 16384)
    floor (5730.5)     		ty = 5730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13401 / 5730 ti = "14/13401/5730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13401/5730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13401 ÷ 214
    13401 ÷ 16384     		x = 0.81793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5730 ÷ 214
    5730 ÷ 16384     		y = 0.3497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81793212890625 × 2 - 1) × π
    0.6358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99762648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3497314453125 × 2 - 1) × π
    0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99762648} λ = 1.99762648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944165174916626))-π/2
    2×atan(2.57066642573478)-π/2
    2×1.1998048911833-π/2
    2.39960978236659-1.57079632675     		φ = 0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99762648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13401 KachelY 5730 1.99762648 0.82881346 114.455566 47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 13402 KachelY 5730 1.99800998 0.82881346 114.477539 47.487513
    Unten links KachelX 13401 KachelY + 1 5731 1.99762648 0.82855427 114.455566 47.472663
    Unten rechts KachelX + 1 13402 KachelY + 1 5731 1.99800998 0.82855427 114.477539 47.472663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82881346-0.82855427) × R
    0.000259189999999965 × 6371000     		dl = 1651.29948999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82881346-0.82855427) × R
    0.000259189999999965 × 6371000     		dr = 1651.29948999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99762648-1.99800998) × cos(0.82881346) × R
    0.00038349999999987 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 1651.04757174297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99762648-1.99800998) × cos(0.82855427) × R
    0.00038349999999987 × 0.675941903930099 × 6371000     		du = 1651.51432112092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82881346)-sin(0.82855427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675941903930099)×R²
    abs(1.99800998-1.99762648)×0.000191034046240657×R²
    0.00038349999999987×0.000191034046240657×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191034046240657×40589641000000     		ar = 2726759.39995493m²