Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13400 / 12568
↖ ↑ ↗
← S 68.847665°
E114.433594°		 ← 881.63 m → S 68.847665°
E114.455566°		 →
↑
881.49 m
↓
↑
881.49 m
↓
S 68.855593°
E114.433594°		 ← 881.32 m →
777 012 m²		 S 68.855593°
E114.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817901611328125 y=0.767120361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817901611328125 × 214)
    floor (0.817901611328125 × 16384)
    floor (13400.5)     		tx = 13400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767120361328125 × 214)
    floor (0.767120361328125 × 16384)
    floor (12568.5)     		ty = 12568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13400 / 12568 ti = "14/13400/12568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13400/12568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13400 ÷ 214
    13400 ÷ 16384     		x = 0.81787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12568 ÷ 214
    12568 ÷ 16384     		y = 0.76708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81787109375 × 2 - 1) × π
    0.6357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99724299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76708984375 × 2 - 1) × π
    -0.5341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67817498189893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99724299} λ = 1.99724299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67817498189893))-π/2
    2×atan(0.186714422485221)-π/2
    2×0.184588944616345-π/2
    0.36917788923269-1.57079632675     		φ = -1.20161844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99724299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20161844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.847665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13400 KachelY 12568 1.99724299 -1.20161844 114.433594 -68.847665
    Oben rechts KachelX + 1 13401 KachelY 12568 1.99762648 -1.20161844 114.455566 -68.847665
    Unten links KachelX 13400 KachelY + 1 12569 1.99724299 -1.20175680 114.433594 -68.855593
    Unten rechts KachelX + 1 13401 KachelY + 1 12569 1.99762648 -1.20175680 114.455566 -68.855593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20161844--1.20175680) × R
    0.000138360000000004 × 6371000     		dl = 881.491560000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20161844--1.20175680) × R
    0.000138360000000004 × 6371000     		dr = 881.491560000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99724299-1.99762648) × cos(-1.20161844) × R
    0.000383490000000153 × 0.360848831226474 × 6371000     		do = 881.631201407087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99724299-1.99762648) × cos(-1.20175680) × R
    0.000383490000000153 × 0.360719789872111 × 6371000     		du = 881.315925661584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20161844)-sin(-1.20175680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360848831226474-0.360719789872111)×R²
    abs(1.99762648-1.99724299)×0.000129041354363479×R²
    0.000383490000000153×0.000129041354363479×6371000²
    0.000383490000000153×0.000129041354363479×40589641000000     		ar = 777011.507858809m²