Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1340 / 2364
↖ ↑ ↗
← N 60.326948°
W121.113281°		 ← 2 419.06 m → N 60.326948°
W121.069336°		 →
↑
2 419.90 m
↓
↑
2 419.90 m
↓
N 60.305185°
W121.113281°		 ← 2 420.67 m →
5 855 824 m²		 N 60.305185°
W121.069336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16363525390625 y=0.28863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16363525390625 × 213)
    floor (0.16363525390625 × 8192)
    floor (1340.5)     		tx = 1340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28863525390625 × 213)
    floor (0.28863525390625 × 8192)
    floor (2364.5)     		ty = 2364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1340 / 2364 ti = "13/1340/2364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1340/2364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1340 ÷ 213
    1340 ÷ 8192     		x = 0.16357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2364 ÷ 213
    2364 ÷ 8192     		y = 0.28857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16357421875 × 2 - 1) × π
    -0.6728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11382553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28857421875 × 2 - 1) × π
    0.4228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.328427362271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11382553} λ = -2.11382553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.328427362271))-π/2
    2×atan(3.7751018492507)-π/2
    2×1.31185009628499-π/2
    2.62370019256998-1.57079632675     		φ = 1.05290387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11382553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05290387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.326948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1340 KachelY 2364 -2.11382553 1.05290387 -121.113281 60.326948
    Oben rechts KachelX + 1 1341 KachelY 2364 -2.11305854 1.05290387 -121.069336 60.326948
    Unten links KachelX 1340 KachelY + 1 2365 -2.11382553 1.05252404 -121.113281 60.305185
    Unten rechts KachelX + 1 1341 KachelY + 1 2365 -2.11305854 1.05252404 -121.069336 60.305185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05290387-1.05252404) × R
    0.00037982999999997 × 6371000     		dl = 2419.89692999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05290387-1.05252404) × R
    0.00037982999999997 × 6371000     		dr = 2419.89692999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11382553--2.11305854) × cos(1.05290387) × R
    0.000766990000000245 × 0.495050069276937 × 6371000     		do = 2419.05884173656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11382553--2.11305854) × cos(1.05252404) × R
    0.000766990000000245 × 0.495380054341625 × 6371000     		du = 2420.67131154096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05290387)-sin(1.05252404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495050069276937-0.495380054341625)×R²
    abs(-2.11305854--2.11382553)×0.000329985064687399×R²
    0.000766990000000245×0.000329985064687399×6371000²
    0.000766990000000245×0.000329985064687399×40589641000000     		ar = 5855824.14037549m²