Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13394 / 5706
↖ ↑ ↗
← N 47.842658°
E114.301758°		 ← 1 639.85 m → N 47.842658°
E114.323730°		 →
↑
1 640.09 m
↓
↑
1 640.09 m
↓
N 47.827908°
E114.301758°		 ← 1 640.32 m →
2 689 882 m²		 N 47.827908°
E114.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817535400390625 y=0.348297119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817535400390625 × 214)
    floor (0.817535400390625 × 16384)
    floor (13394.5)     		tx = 13394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348297119140625 × 214)
    floor (0.348297119140625 × 16384)
    floor (5706.5)     		ty = 5706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13394 / 5706 ti = "14/13394/5706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13394/5706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13394 ÷ 214
    13394 ÷ 16384     		x = 0.8175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5706 ÷ 214
    5706 ÷ 16384     		y = 0.3482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8175048828125 × 2 - 1) × π
    0.635009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99494201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3482666015625 × 2 - 1) × π
    0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99494201} λ = 1.99494201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953369059643677))-π/2
    2×atan(2.59443576050315)-π/2
    2×1.20290411264624-π/2
    2.40580822529247-1.57079632675     		φ = 0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99494201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13394 KachelY 5706 1.99494201 0.83501190 114.301758 47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 13395 KachelY 5706 1.99532551 0.83501190 114.323730 47.842658
    Unten links KachelX 13394 KachelY + 1 5707 1.99494201 0.83475447 114.301758 47.827908
    Unten rechts KachelX + 1 13395 KachelY + 1 5707 1.99532551 0.83475447 114.323730 47.827908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83501190-0.83475447) × R
    0.000257430000000003 × 6371000     		dl = 1640.08653000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83501190-0.83475447) × R
    0.000257430000000003 × 6371000     		dr = 1640.08653000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99494201-1.99532551) × cos(0.83501190) × R
    0.000383500000000092 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 1639.85244840033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99494201-1.99532551) × cos(0.83475447) × R
    0.000383500000000092 × 0.671359672959571 × 6371000     		du = 1640.31865470955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83501190)-sin(0.83475447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.671359672959571)×R²
    abs(1.99532551-1.99494201)×0.000190811775740984×R²
    0.000383500000000092×0.000190811775740984×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190811775740984×40589641000000     		ar = 2689882.23600844m²