Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13392 / 3796
↖ ↑ ↗
← N 79.773365°
W 32.871093°		 ← 216.88 m → N 79.773365°
W 32.860108°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 79.771414°
W 32.871093°		 ← 216.92 m →
47 053 m²		 N 79.771414°
W 32.860108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408706665039062 y=0.115859985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408706665039062 × 215)
    floor (0.408706665039062 × 32768)
    floor (13392.5)     		tx = 13392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115859985351562 × 215)
    floor (0.115859985351562 × 32768)
    floor (3796.5)     		ty = 3796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13392 / 3796 ti = "15/13392/3796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13392/3796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13392 ÷ 215
    13392 ÷ 32768     		x = 0.40869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3796 ÷ 215
    3796 ÷ 32768     		y = 0.1158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57370881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1158447265625 × 2 - 1) × π
    0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57370881} λ = -0.57370881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41371876966907))-π/2
    2×atan(11.1754428647436)-π/2
    2×1.48155210109207-π/2
    2.96310420218414-1.57079632675     		φ = 1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57370881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.871093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13392 KachelY 3796 -0.57370881 1.39230788 -32.871093 79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 13393 KachelY 3796 -0.57351707 1.39230788 -32.860108 79.773365
    Unten links KachelX 13392 KachelY + 1 3797 -0.57370881 1.39227383 -32.871093 79.771414
    Unten rechts KachelX + 1 13393 KachelY + 1 3797 -0.57351707 1.39227383 -32.860108 79.771414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39230788-1.39227383) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39230788-1.39227383) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57370881--0.57351707) × cos(1.39230788) × R
    0.000191739999999996 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 216.881254503014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57370881--0.57351707) × cos(1.39227383) × R
    0.000191739999999996 × 0.177575746333142 × 6371000     		du = 216.922188217806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39230788)-sin(1.39227383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177575746333142)×R²
    abs(-0.57351707--0.57370881)×3.35089509011788e-05×R²
    0.000191739999999996×3.35089509011788e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.35089509011788e-05×40589641000000     		ar = 47053.0435188693m²