Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13391 / 3797
↖ ↑ ↗
← N 79.771414°
W 32.882080°		 ← 216.93 m → N 79.771414°
W 32.871093°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 79.769463°
W 32.882080°		 ← 216.97 m →
47 064 m²		 N 79.769463°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408676147460938 y=0.115890502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408676147460938 × 215)
    floor (0.408676147460938 × 32768)
    floor (13391.5)     		tx = 13391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115890502929688 × 215)
    floor (0.115890502929688 × 32768)
    floor (3797.5)     		ty = 3797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13391 / 3797 ti = "15/13391/3797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13391/3797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13391 ÷ 215
    13391 ÷ 32768     		x = 0.408660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3797 ÷ 215
    3797 ÷ 32768     		y = 0.115875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.18267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57390056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115875244140625 × 2 - 1) × π
    0.76824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41352702207059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57390056} λ = -0.57390056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41352702207059))-π/2
    2×atan(11.1733002058437)-π/2
    2×1.48153507783671-π/2
    2.96307015567342-1.57079632675     		φ = 1.39227383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57390056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39227383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.771414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13391 KachelY 3797 -0.57390056 1.39227383 -32.882080 79.771414
    Oben rechts KachelX + 1 13392 KachelY 3797 -0.57370881 1.39227383 -32.871093 79.771414
    Unten links KachelX 13391 KachelY + 1 3798 -0.57390056 1.39223978 -32.882080 79.769463
    Unten rechts KachelX + 1 13392 KachelY + 1 3798 -0.57370881 1.39223978 -32.871093 79.769463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39227383-1.39223978) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39227383-1.39223978) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57390056--0.57370881) × cos(1.39227383) × R
    0.000191750000000046 × 0.177575746333142 × 6371000     		do = 216.933501568661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57390056--0.57370881) × cos(1.39223978) × R
    0.000191750000000046 × 0.177609255078161 × 6371000     		du = 216.974437166795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39227383)-sin(1.39223978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177575746333142-0.177609255078161)×R²
    abs(-0.57370881--0.57390056)×3.35087450193949e-05×R²
    0.000191750000000046×3.35087450193949e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.35087450193949e-05×40589641000000     		ar = 47064.3778117798m²