Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13390 / 3798
↖ ↑ ↗
← N 79.769463°
W 32.893066°		 ← 216.97 m → N 79.769463°
W 32.882080°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
N 79.767512°
W 32.893066°		 ← 217.02 m →
47 087 m²		 N 79.767512°
W 32.882080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408645629882812 y=0.115921020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408645629882812 × 215)
    floor (0.408645629882812 × 32768)
    floor (13390.5)     		tx = 13390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115921020507812 × 215)
    floor (0.115921020507812 × 32768)
    floor (3798.5)     		ty = 3798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13390 / 3798 ti = "15/13390/3798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13390/3798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13390 ÷ 215
    13390 ÷ 32768     		x = 0.40863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3798 ÷ 215
    3798 ÷ 32768     		y = 0.11590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.1827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57409231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41333527447211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57409231} λ = -0.57409231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41333527447211))-π/2
    2×atan(11.1711579577542)-π/2
    2×1.48151805136876-π/2
    2.96303610273751-1.57079632675     		φ = 1.39223978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57409231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.893066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39223978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.769463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13390 KachelY 3798 -0.57409231 1.39223978 -32.893066 79.769463
    Oben rechts KachelX + 1 13391 KachelY 3798 -0.57390056 1.39223978 -32.882080 79.769463
    Unten links KachelX 13390 KachelY + 1 3799 -0.57409231 1.39220572 -32.893066 79.767512
    Unten rechts KachelX + 1 13391 KachelY + 1 3799 -0.57390056 1.39220572 -32.882080 79.767512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39223978-1.39220572) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39223978-1.39220572) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57409231--0.57390056) × cos(1.39223978) × R
    0.000191750000000046 × 0.177609255078161 × 6371000     		do = 216.974437166795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57409231--0.57390056) × cos(1.39220572) × R
    0.000191750000000046 × 0.17764277345821 × 6371000     		du = 217.01538453546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39223978)-sin(1.39220572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177609255078161-0.17764277345821)×R²
    abs(-0.57390056--0.57409231)×3.35183800491134e-05×R²
    0.000191750000000046×3.35183800491134e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.35183800491134e-05×40589641000000     		ar = 47087.0840982846m²